Criterio del confronto asintotico
Premetto che ho letto e compreso la teoria del confronto asintotico, ma ho un problema... Non riesco a capire quando mi conviene applicarlo per lo studio di una serie e quando no!
Per esempio, per prepararmi all'esame di analisi matematica ho svolto un sacco di esercizi sulla convergenza delle serie, ma non mi era mai capitato di doverlo utilizzare, me la sono sempre cavata col criterio del confronto (su wikipedia sarebbe il Primo criterio del confronto) e con Leibniz per le serie a segni alterni. Ma nell'ultima correzione di traccia d'esame, la prof ha applicato il criterio del confronto asintotico e non capisco perchè!
La serie è questa:
[tex]\sum_{n=2}^{\infty}\frac{n2^n}{n^2+2}[/tex] [tex](x-1)^n[/tex]
Nell'estremo x=3/2 (il raggio di convergenza è 1/2), la serie risulta:
[tex]\sum_{n=2}^{\infty}\frac{n}{n^2+2}[/tex]
Faccio il limite per x che tende a più infinito per vedere se il termine $a_n$ tende a 0, ma eseguendo le semplificazioni del caso mi rendo conto che ottengo la serie armonica 1/n che è divergente... Ma in teoria non ho applicato nessun criterio del confronto asintotico a meno che non l'abbia fatto senza rendermene conto... Ho semplicemente dedotto che il suo comportamento è uguale a quello della serie armonica, ma non ho fatto i calcoli del limite relativi al criterio asintotico! Qualcuno mi sa spiegare se effettivamente serve applicarlo in questo caso o se posso ragionare anche alla mia maniera?
Per esempio, per prepararmi all'esame di analisi matematica ho svolto un sacco di esercizi sulla convergenza delle serie, ma non mi era mai capitato di doverlo utilizzare, me la sono sempre cavata col criterio del confronto (su wikipedia sarebbe il Primo criterio del confronto) e con Leibniz per le serie a segni alterni. Ma nell'ultima correzione di traccia d'esame, la prof ha applicato il criterio del confronto asintotico e non capisco perchè!
La serie è questa:
[tex]\sum_{n=2}^{\infty}\frac{n2^n}{n^2+2}[/tex] [tex](x-1)^n[/tex]
Nell'estremo x=3/2 (il raggio di convergenza è 1/2), la serie risulta:
[tex]\sum_{n=2}^{\infty}\frac{n}{n^2+2}[/tex]
Faccio il limite per x che tende a più infinito per vedere se il termine $a_n$ tende a 0, ma eseguendo le semplificazioni del caso mi rendo conto che ottengo la serie armonica 1/n che è divergente... Ma in teoria non ho applicato nessun criterio del confronto asintotico a meno che non l'abbia fatto senza rendermene conto... Ho semplicemente dedotto che il suo comportamento è uguale a quello della serie armonica, ma non ho fatto i calcoli del limite relativi al criterio asintotico! Qualcuno mi sa spiegare se effettivamente serve applicarlo in questo caso o se posso ragionare anche alla mia maniera?
Risposte
Ciao Rose.
Forse il tuo dubbio riguarda i nomi dei criteri.
Quello del rapporto asintotico è quello che alla fine ti chiede di calcolare $lim_(n) a_(n+1)/a_n$ , variante del criterio del rapporto.
Tuttavia si può sondare il comportamento asintotico del termine generale per stabilirne l'ordine di infinitesimo (e quindi applicare il criterio dell'ordine di infinitesimo, come credo abbia fatto la tua professoressa).
Forse il tuo dubbio riguarda i nomi dei criteri.
Quello del rapporto asintotico è quello che alla fine ti chiede di calcolare $lim_(n) a_(n+1)/a_n$ , variante del criterio del rapporto.
Tuttavia si può sondare il comportamento asintotico del termine generale per stabilirne l'ordine di infinitesimo (e quindi applicare il criterio dell'ordine di infinitesimo, come credo abbia fatto la tua professoressa).
Temo che sia così perché altrimenti non vedo altra spiegazione possibile.... non conoscevo il nome di quel criterio quindi probabilmente c'è stata un pò di confusione tra me e la prof!
"~Rose":
Temo che sia così perché altrimenti non vedo altra spiegazione possibile.... non conoscevo il nome di quel criterio quindi probabilmente c'è stata un pò di confusione tra me e la prof!
Comunque, per concludere, hai $sum n/(n^2 + 2)$
Valuta l'ordine di infinitesimo di $a_n = n/(n^2 + 2)$ - si vede ad occhio che la successione più naturale da usare per il confronto è $1/n$:
$lim_n (a_n)/(1/n) = 1$
Allora $"ord" (a_n) = "ord"(1/n)$.
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