Criterio del confronto asintotico
Ciao a tutti,
ho un problema che sembrerà banale alla maggioranza di voi ma ho bisogno di un aiuto,
devo studiare una serie a termini positivi
$ sum_(n>=1)(1/sqrt(n)-1/(sqrt(n+1))) $
nei suggerimenti del mio professore c'è di usare il criterio del confronto asinotico:
date $sum_(n>=1)a_n$ e $sum_(n>=1)b_n$ serie a termini positivi, se $b_n != 0$ allora se esiste finito $lim_(n -> oo) a_n/b_n=l$
se $l!=0$ le due serie hanno lo stesso carattere (in particolare se $l=1$)
se $l=0$ si ha che se $sum a_n$ diverge $rArr$ $sum b_n$ diverge, se $sum b_n$ converge $rArr$ $sum a_n$ converge
quindi in pratica devo trovare una funzione $f(x)$ tale che $sum_(n>=1)(1/sqrt(n)-1/(sqrt(n+1)))$ è asinotica a $f(x)$
asintotica vuol dire che all'inifinito hanno lo stesso comportamento
il mio problema è: come faccio?
perchè il mio prof taglia corto con
$(1/sqrt(n)-1/(sqrt(n+1)))$ asintotico $1/2 1/n^(3/2)$ ma perchè? come ci è arrivato?
grazie in anticipo per la risposta
ho un problema che sembrerà banale alla maggioranza di voi ma ho bisogno di un aiuto,
devo studiare una serie a termini positivi
$ sum_(n>=1)(1/sqrt(n)-1/(sqrt(n+1))) $
nei suggerimenti del mio professore c'è di usare il criterio del confronto asinotico:
date $sum_(n>=1)a_n$ e $sum_(n>=1)b_n$ serie a termini positivi, se $b_n != 0$ allora se esiste finito $lim_(n -> oo) a_n/b_n=l$
se $l!=0$ le due serie hanno lo stesso carattere (in particolare se $l=1$)
se $l=0$ si ha che se $sum a_n$ diverge $rArr$ $sum b_n$ diverge, se $sum b_n$ converge $rArr$ $sum a_n$ converge
quindi in pratica devo trovare una funzione $f(x)$ tale che $sum_(n>=1)(1/sqrt(n)-1/(sqrt(n+1)))$ è asinotica a $f(x)$
asintotica vuol dire che all'inifinito hanno lo stesso comportamento
il mio problema è: come faccio?
perchè il mio prof taglia corto con
$(1/sqrt(n)-1/(sqrt(n+1)))$ asintotico $1/2 1/n^(3/2)$ ma perchè? come ci è arrivato?
grazie in anticipo per la risposta
Risposte
Quello che dovresti fare per applicare tale criterio è trovare un numero reale $\alpha>0$ tale che
[tex]$\lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{n^\alpha}=\ell$[/tex]
con [tex]$\ell\neq 0,\ \pm\infty$[/tex].
Tuttavia io userei un metodo più veloce: la serie che stai studiando è "telescopica": se consideri le somme ridotte ennesime avrai
[tex]$s_N=\sum_{n=1}^N\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=$[/tex]
[tex]$=\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+\left(\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}\right)+\ldots+\left(\frac{1}{\sqrt{N-1}}-\frac{1}{\sqrt{N}}\right)+\left(\frac{1}{\sqrt{N}}-\frac{1}{\sqrt{N+1}}\right)$[/tex]
per cui, cancellando il secondo termine in ogni parentesi con il primo di quella successiva si ha
[tex]$s_N=1-\frac{1}{\sqrt{N+1}}$[/tex]
il cui limite, per $n\to+\infty$ è pari a $1$ che è la somma della serie.
[tex]$\lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{n^\alpha}=\ell$[/tex]
con [tex]$\ell\neq 0,\ \pm\infty$[/tex].
Tuttavia io userei un metodo più veloce: la serie che stai studiando è "telescopica": se consideri le somme ridotte ennesime avrai
[tex]$s_N=\sum_{n=1}^N\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=$[/tex]
[tex]$=\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+\left(\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}\right)+\ldots+\left(\frac{1}{\sqrt{N-1}}-\frac{1}{\sqrt{N}}\right)+\left(\frac{1}{\sqrt{N}}-\frac{1}{\sqrt{N+1}}\right)$[/tex]
per cui, cancellando il secondo termine in ogni parentesi con il primo di quella successiva si ha
[tex]$s_N=1-\frac{1}{\sqrt{N+1}}$[/tex]
il cui limite, per $n\to+\infty$ è pari a $1$ che è la somma della serie.
Se poi si vuole proprio usare il confronto asintotico, vale la pena ricordare che:
[tex]$\lim_n \frac{\sqrt{1+\frac{1}{n}} -1}{\frac{1}{n}} =\frac{1}{2}$[/tex],
ed operare un po' algebricamente sulla successione degli addendi.
[tex]$\lim_n \frac{\sqrt{1+\frac{1}{n}} -1}{\frac{1}{n}} =\frac{1}{2}$[/tex],
ed operare un po' algebricamente sulla successione degli addendi.
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