Criterio del confronto asinotico
Buongiorno a tutti vi riporto la definizione del mio prof. di criterio di confronto asintotico:
Siano $a_n$; $b_n$ > 0 per ogni $n>n_0$ ; supponiamo che entrambe le successioni siano in fitesime.
- Se ${a_n}$ e ${b_n}$ sono in nitesime dello stesso ordine, la serie di termine $a_n$ e la serie di termine $b_n$ hanno lo stesso carattere.
- Se ${a_n}$ e in fitesimo di ordine superiore rispetto a ${b_n}$ e la serie di termine $b_n$ converge, anche la serie di termine $b_n$ converge.
- Se ${a_n}$ e in fitesimo di ordine inferiore rispetto a ${b_n}$ e la serie di termine $a_n$ diverge, anche la serie di termine $b_n$ diverge.
Se per ipotesi $b_n$ è infinitesima come può nel secondo e terzo caso rispettivamente convergere o divergere? Qualcosa non torna o sono io che non ho inteso questo criterio? Mi sn permesso di scrivere in quanto mi sembra davvero strano che il mio prof abbia sbagliato.
E, visto che ci sono, in linea generale differisce dal criterio del confronto semplice in quanto si fa un confronto tra infinitesimi? Non vale per gli infiniti?
Siano $a_n$; $b_n$ > 0 per ogni $n>n_0$ ; supponiamo che entrambe le successioni siano in fitesime.
- Se ${a_n}$ e ${b_n}$ sono in nitesime dello stesso ordine, la serie di termine $a_n$ e la serie di termine $b_n$ hanno lo stesso carattere.
- Se ${a_n}$ e in fitesimo di ordine superiore rispetto a ${b_n}$ e la serie di termine $b_n$ converge, anche la serie di termine $b_n$ converge.
- Se ${a_n}$ e in fitesimo di ordine inferiore rispetto a ${b_n}$ e la serie di termine $a_n$ diverge, anche la serie di termine $b_n$ diverge.
Se per ipotesi $b_n$ è infinitesima come può nel secondo e terzo caso rispettivamente convergere o divergere? Qualcosa non torna o sono io che non ho inteso questo criterio? Mi sn permesso di scrivere in quanto mi sembra davvero strano che il mio prof abbia sbagliato.
E, visto che ci sono, in linea generale differisce dal criterio del confronto semplice in quanto si fa un confronto tra infinitesimi? Non vale per gli infiniti?
Risposte
Il criterio non si riferisce alle successioni, ma alle SERIE associate alle successioni: la serie di una successione infinitesima può benissimo convergere come anche divergere! 
Il criterio del confronto semplice in realtà è quello che tu hai indicato ai punti 2 e 3; quello del confronto asintotico invece è il punto 1. Almeno, io li ho studiati così...!
Il criterio del confronto semplice in realtà è quello che tu hai indicato ai punti 2 e 3; quello del confronto asintotico invece è il punto 1. Almeno, io li ho studiati così...!
"Gendarmevariante":
Il criterio non si riferisce alle successioni, ma alle SERIE associate alle successioni: la serie di una successione infinitesima può benissimo convergere come anche divergere!
Il criterio del confronto semplice in realtà è quello che tu hai indicato ai punti 2 e 3; quello del confronto asintotico invece è il punto 1. Almeno, io li ho studiati così...!
Oh accidenti, ero proprio fuori strada allora mi era totalmente sfuggita la parola serie.
Grazie mille anche per la seconda spiegazione
posso immaginare che quello normale verta sul fatto che $a_n$ sia definitavemente < di $b_n$ mentre questo asintotico faccia con il confronto tra infiniti/infinitesimi, naturalmente i risultati coincidono sono due approcci leggermente diversi.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo