Criterio del Confronto

[Lory9618]

Io non riesco proprio a capirlo ed ha la sua rilevanza, vedendolo spesso utilizzato per serie, integali impropri, etc.
Ad esempio

$arctan(x)/x^2 < pi/(2x^2)$

oppure

$ pi/(4x) < arctan(x)/x$

Come è stato stabilito? In base a cosa?

Grazie

[phigreco1]

Sono abbastanza assonnato, quindi non vorrei scrivere delle castronerie. Comunque, quanto dici credo che dipenda dal fatto che l'$arctan(x)$ può assumere valori compresi tra $-pi/2$ per $x=-oo$ e $pi/2$ per $x=+oo$. Di conseguenza:

[*:62sbu9yv]$arctan(x) 1/x^2$ è $<= pi/2 1/(x^2)$ perché $arctan(x)$ per $x->+oo$ varrà, al più, $pi/2$[/*:m:62sbu9yv]
[*:62sbu9yv]$ pi/4 1/x < arctan(x) 1/x$ perché $arctan(x)$ per $x->+oo$ varrà, al più, $pi/2>pi/4$[/*:m:62sbu9yv][/list:u:62sbu9yv]

[Volt1]

Il criterio del confronto viene usato ad esp. nei limiti (vedi teorema dei carabinieri) o nell'integrazione : se $f,g : [a,b] rarr R $ , $f,g > 0 $ e $f > g$ per ogni $x in [a,b]$ allora $int f(x) dx > int g(x) dx$. Questo concetto si può estendere anche a intervalli aperti e illimitati e diventa utile per l'integrazione in senso generalizzato quando non si sa trovare una primitiva di una funzione.

[Lory9618]

"phigreco":Sono abbastanza assonnato, quindi non vorrei scrivere delle castronerie. Comunque, quanto dici credo che dipenda dal fatto che l'$arctan(x)$ può assumere valori compresi tra $-pi/2$ per $x=-oo$ e $pi/2$ per $x=+oo$. Di conseguenza:

[*:245ozajj]$arctan(x) 1/x^2$ è $<= pi/2 1/(x^2)$ perché $arctan(x)$ per $x->+oo$ varrà, al più, $pi/2$[/*:m:245ozajj]
[*:245ozajj]$ pi/4 1/x < arctan(x) 1/x$ perché $arctan(x)$ per $x->+oo$ varrà, al più, $pi/2>pi/4$[/*:m:245ozajj][/list:u:245ozajj]

Perfetto, ma nel secondo perchè $pi/4$? Perchè posso prendere un qualunque valore minore di $pi/2$?

Inoltre, in quest'altro esempio?
$ \int_1^3 sqrt ( (7-x) / (3-x) ) dx <= \int_1^3 sqrt(6)/(sqrt(3-x)) dx$

[phigreco1]

"Lory9618":
Perfetto, ma nel secondo perchè $pi/4$? Perchè posso prendere un qualunque valore minore di $pi/2$?

Non avendo gli esercizi davanti i miei erano confronti supposti, in realtà nel secondo -in caso di integrale improprio- avresti potuto avere problemi in 1 e quindi non sarebbe stato $x->+oo$ ma, ad esempio, $x->1$ e $arctan(1)=pi/4$ quindi sarebbe stato $<=$ per $x->1$

"Lory9618":

Inoltre, in quest'altro esempio?

Su questo secondo caso non sono sicuro.
Comunque provo ad interpretarlo:
$\int_1^3 sqrt (7-x) / sqrt(3-x) dx <= \int_1^3 sqrt(6)/(sqrt(3-x)) dx$
Essendo l'intervallo di integrazione $in [1,3]$ è normale pensare che $sqrt(7-x)$ vari da un minimo di $sqrt(7-3)$ a un massimo di $sqrt(7-1)$, da qui quella disuguaglianza è giustificata.
Anche se, come integrale improprio, il "problema" è l'estremo 3, quindi non so quanto possa esserti d'aiuto applicare il criterio del confronto in tal modo.

[Lory9618]

Ora è tutto chiaro, semplice ed efficace.
Grazie mille

[phigreco1]

Prego