Criterio confonto
Ciao ragazzi, ancora problemi con integrali impropri.. volevo chiedere ma nel teorema del confronto le due funzioni $f(x),g(x)$ definite in $[a,+infty)$ devono essere limitante o non necessariamente è rischiesta questa ipotesi?
Risposte
perchè ci sarebbe bisogno che siano limitate le funzioni?... prova a scrivere l'enunciato...
si ma nel caso in cui la funzione non sia limitata la definizione di integrale improprio non è diversa del caso in cui invece sia limitata?
"Sia [tex]f(x)[/tex] una funzione Rimann integrabile e limitata in ogni intervallo [tex][a,m][/tex].
Diciamo che [tex]f(x)[/tex] ammette integrale impropio secondo Riemann se esiste finito [tex]\displaystyle\lim_{m\to+\infty}\displaystyle\int_a^m f(x)dx[/tex]", in tal caso scriviamo [tex]\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)dx[/tex]."
se una funzione non è limitata può ammettere integrale impropio?
se una funzione NON ammette integrale impropio possiamo scrivere in maniera un pò barbara ma intuitiva [tex]\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)dx=+\infty[/tex]...
Diciamo che [tex]f(x)[/tex] ammette integrale impropio secondo Riemann se esiste finito [tex]\displaystyle\lim_{m\to+\infty}\displaystyle\int_a^m f(x)dx[/tex]", in tal caso scriviamo [tex]\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)dx[/tex]."
se una funzione non è limitata può ammettere integrale impropio?
se una funzione NON ammette integrale impropio possiamo scrivere in maniera un pò barbara ma intuitiva [tex]\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)dx=+\infty[/tex]...
"fu^2":certo che sì
se una funzione non è limitata può ammettere integrale impropio?
vedasi:
https://www.matematicamente.it/forum/and ... 48418.html
si ma è un integrale diverso da quello di riemann!
Infatti vale l'uguaglianza tra i due solo se la funzione è definitivamente positiva... (quindi l'esempio dei triangoloni molto simpatico è accettabile anche in questo caso volendo
)
comunque la domanda non era retorica, nella definizione di integrale impropio si richiede semplicemnte che la funizone sia limitata in tutti gli intervalli $[a,m]$ e non su tutta la semiretta reale. La sua esistenza sarà data dal limite.
Quindi la definizione è unica per tutte le funzioni, se una funzione non è limitata sui compatti del tipo $[a,m]$ come sopra semplicemente non si definisce l'integrale impropio secondo riemann.
Infatti vale l'uguaglianza tra i due solo se la funzione è definitivamente positiva... (quindi l'esempio dei triangoloni molto simpatico è accettabile anche in questo caso volendo
)comunque la domanda non era retorica, nella definizione di integrale impropio si richiede semplicemnte che la funizone sia limitata in tutti gli intervalli $[a,m]$ e non su tutta la semiretta reale. La sua esistenza sarà data dal limite.
Quindi la definizione è unica per tutte le funzioni, se una funzione non è limitata sui compatti del tipo $[a,m]$ come sopra semplicemente non si definisce l'integrale impropio secondo riemann.
si però continuo a non capire un cosa.. e cioè se la definizione di integrale improprio per una funzione limitata è diverso da quella per funzione non limitata allora la dimostrazione del criterio del confronto è diverso a seconda se la $f(x)$ limitata o no..giusto?
scusami nadia, ma tu leggi le mie risposte?...
Ho scritto una sola definizione di integrale impropio che prescinde dalla limitatezza complessiva della $f(x)$ (ovvero si richiede solo la limitatezza sui compatti del tipo $[a,m]$).
Sarò ignorante io, a questo punto per capirci scrivi le due definizioni che tanto citi di integrale impropio per funzioni limitate e per funzioni non limitate, se no non si capisce nulla...
Ho scritto una sola definizione di integrale impropio che prescinde dalla limitatezza complessiva della $f(x)$ (ovvero si richiede solo la limitatezza sui compatti del tipo $[a,m]$).
Sarò ignorante io, a questo punto per capirci scrivi le due definizioni che tanto citi di integrale impropio per funzioni limitate e per funzioni non limitate, se no non si capisce nulla...
perdonami,io leggo le tue risposte ma a questo punto non capisco perchè il mio profesore ha dato queste due differenti definizioni..
"Sia $f$ una funzione Rimann integrabile e limitata, non negativa in $[a,+infty)$.
Supponimo $c>a$ take che esista $int_a^c f(x) dx $.
Diciamo che ammette integrale impropio secondo Riemann se esiste finito $lim_(c\to infty) int_a^c f(x) dx $"
" Sia $f$ una funzione Rimann integrabile e non limitata, non negativa in $[a,+infty)$.
Supponimo $t>a$ e poniamo $f_t=min(f,t)$supponiamo esista $int_a^c f_t(x) dx $.
Diciamo che ammette integrale impropio secondo Riemann se esiste finito $lim_(t\to +infty) int_a^t f_t(x) dx $"
"Sia $f$ una funzione Rimann integrabile e limitata, non negativa in $[a,+infty)$.
Supponimo $c>a$ take che esista $int_a^c f(x) dx $.
Diciamo che ammette integrale impropio secondo Riemann se esiste finito $lim_(c\to infty) int_a^c f(x) dx $"
" Sia $f$ una funzione Rimann integrabile e non limitata, non negativa in $[a,+infty)$.
Supponimo $t>a$ e poniamo $f_t=min(f,t)$supponiamo esista $int_a^c f_t(x) dx $.
Diciamo che ammette integrale impropio secondo Riemann se esiste finito $lim_(t\to +infty) int_a^t f_t(x) dx $"
"nadia89":
perdonami,io leggo le tue risposte ma a questo punto non capisco perchè il mio profesore ha dato queste due differenti definizioni..
"Sia $f$ una funzione Rimann integrabile e limitata, non negativa in $[a,+infty)$.
Supponimo $c>a$ take che esista $int_a^c f(x) dx $.
Diciamo che ammette integrale impropio secondo Riemann se esiste finito $lim_(c\to infty) int_a^c f(x) dx $"
" Sia $f$ una funzione Rimann integrabile e non limitata, non negativa in $[a,+infty)$.
Supponimo $t>a$ e poniamo $f_t=min(f,t)$supponiamo esista $int_a^c f_t(x) dx $.
Diciamo che ammette integrale impropio secondo Riemann se esiste finito $lim_(t\to +infty) int_a^t f_t(x) dx $"
Scusa ma tu come definisci le funzioni riemann integrabili su $[a,+oo)$? La definizione di integrale di riemann presuppone che tu stia lavorando su un intervallo compatto, quindi limitato.
Mi riferisco alla prima riga della tua definizione "Sia $f$ una funzione Rimann integrabile e limitata, non negativa in $[a,+infty)$."
Immagino che volessi scrivere riemann integrabile su ogni intervallo del tipo $[a,c]$, giusto?
Un' alta domanda: nella seconda definizione te hai scritto: "Supponimo $t>a$ e poniamo $f_t=min(f,t)$supponiamo esista $int_a^c f_t(x) dx $." BENE la $c$ che compare nell'integrale che relazione ha con esso?... è presa nello stesso modo della prima definizione o volevi scriverci $t$ al posto di $c$?,,,
Quello che mi turba è questo: se consideri per esempio la funzione $f(x)=1/(x-1)$ e vuoi computare $int_0^{+oo}f(x)dx$. come fai a dire con la seconda definizione che $f$ è integrabile o no su $[0,+oo)$? (condizione necessaria per applicare la seconda definizione che hai dato)
Ti servono intervalli chiusi e limitati, ma nel momento che tu inizi ad adoperarli usi praticamente implicitamente la mia definizione... Non trovi? Prova a dirmi come svolgeresti questo esempio, così capisco come usi questa definizione che non mi torna per nulla...
Mi riferisco alla prima riga della tua definizione "Sia una funzione Rimann integrabile e limitata, non negativa in ."
Immagino che volessi scrivere riemann integrabile su ogni intervallo del tipo , giusto?
si giusto
Un' alta domanda: nella seconda definizione te hai scritto: "Supponimo e poniamo supponiamo esista ." BENE la che compare nell'integrale che relazione ha con esso?... è presa nello stesso modo della prima definizione o volevi scriverci al posto di c ?,,,
si ho sbagliato io volevo mettere $t$ non $c$
Un' alta domanda: nella seconda definizione te hai scritto: "Supponimo e poniamo supponiamo esista ." BENE la che compare nell'integrale che relazione ha con esso?... è presa nello stesso modo della prima definizione o volevi scriverci al posto di ?,,,
Quello che mi turba è questo: se consideri per esempio la funzione e vuoi computare . come fai a dire con la seconda definizione che è integrabile o no su ? (condizione necessaria per applicare la seconda definizione che hai dato)
Ti servono intervalli chiusi e limitati, ma nel momento che tu inizi ad adoperarli usi praticamente implicitamente la mia definizione... Non trovi? Prova a dirmi come svolgeresti questo esempio, così capisco come usi questa definizione che non mi torna per nulla...
Il problema è che secondo me tu hai ragione.. ma comunque non rieco a capire perchè il mio professore ha avuto la necessità difare questa distizione nella definzione.. non capisco se la definzione(nel caso di funzione illimitata) è errata oppure è la stessa di quella limitata e sono io che non me ne sono resa conto.l.
Quello che non mi torna è che l'integrale di Riemann (almeno per come l'ho definito io) lo si definisce per funzioni limitate definite su intervalli chiusi e limitati. Quindi se una funzione non è limitata sui compatti bisogna tirar fuori integrali impropi di prima e seconda specie per definire le cose.
Usare la tua seconda definizione non ha molto senso secondo me perchè se una funzione non è limitata sugli intervallo $[a,t]$ che prendi allora non puoi dire se è riemann integrabile su essi, a meno di inserire integrali impropi di altra natura nella tua definizione, cosa secondo me molto traballante.
Cerca di chiarire questo e come esempio, prendi quello che ti ho fatto prima, te come lo svolgeresti?
Usare la tua seconda definizione non ha molto senso secondo me perchè se una funzione non è limitata sugli intervallo $[a,t]$ che prendi allora non puoi dire se è riemann integrabile su essi, a meno di inserire integrali impropi di altra natura nella tua definizione, cosa secondo me molto traballante.
Cerca di chiarire questo e come esempio, prendi quello che ti ho fatto prima, te come lo svolgeresti?
di sicuro non lo svolgerei con quella definzione perchè non saprei come fare!!
se ti danno una definizione che funziona gli esercizi di calcoli semplici devono venire 
Prova a chiedere al prof delucidazioni, magari ti saprà dire... da questa discussione penso che hai appreso alcuni dubbi circa la definizione
Prova a chiedere al prof delucidazioni, magari ti saprà dire... da questa discussione penso che hai appreso alcuni dubbi circa la definizione
[parzialmente OT]
@nadia89: Ma da dove viene quella definizione per le funzioni non limitate?
Mi pare ingegnosa, ma non la si vede su alcun libro che io conosca.
[/OT]
@nadia89: Ma da dove viene quella definizione per le funzioni non limitate?
Mi pare ingegnosa, ma non la si vede su alcun libro che io conosca.
[/OT]
l'altra volta ho dato una definzione sbagliata,oggi sono andata all'università e ho visto che la definzione riportata dal professore ho sbagliato a ricopiarla. Quella corretta è:Sia$f$ una funzione non negativa definita su $[a,+infty)$ e non limitata.Per $z>a$ poniamo $f_z(x)=min(f(x),z)$; e supponiamo che per ogni $b>a$ esista $int_a^b f_z(x) dx$ (anche in senso improprio eventualmente).Diciamo che $f$ è integrabile in $[a,+infty)$ se esiste finito $lim_ (\z\to +infty) int_a^ z f_z(x) dx$
Non c'è da arrossire, un errore capita a tutti.
Anzi, personalmente apprezzo molto il tuo approccio al forum.
Carina l'idea del tuo prof, sostanzialemnte sta cercando di prendere due piccioni con una fava...
A naso mi sembra che la sua def (corretta
) riesca a "beccare" delle funzioni di questo genere:
- in ogni $n \in NN$ hanno un asintoto verticale
- ma l'integrale "attorno" a questo asintoto verticale vale $1/2^n$
Mi sembra che queste risultino integrabili secondo la def del tuo prof, mentre restano escluse dalla definizione più tradizionale.
Purtroppo non ho tempo per ragionarci su per bene, per cui lascio volentieri ad altri la scena
Anzi, personalmente apprezzo molto il tuo approccio al forum.
Carina l'idea del tuo prof, sostanzialemnte sta cercando di prendere due piccioni con una fava...
A naso mi sembra che la sua def (corretta
) riesca a "beccare" delle funzioni di questo genere:- in ogni $n \in NN$ hanno un asintoto verticale
- ma l'integrale "attorno" a questo asintoto verticale vale $1/2^n$
Mi sembra che queste risultino integrabili secondo la def del tuo prof, mentre restano escluse dalla definizione più tradizionale.
Purtroppo non ho tempo per ragionarci su per bene, per cui lascio volentieri ad altri la scena
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