Criteri di integrabilità secondo Riemann
Buonasera a tutti ragazzi. Ho una domanda riguardante i criteri di integrabilità(di Rieman):
1. Se una funzione di equazione y=f(x), definita in un intervallo chiuso e limitato [a;b] risulta essere continua, allora è integrabile;
2. Se una funzione di equazione y=f(x), definita in un intervallo chiuso e limitati [a;b] risulta essere monotona e limitata allora è integrabile;
Confermate che i criteri di integrabilità siano i suddetti?
Un'altra domanda, quando mi si chiede di dire la condizione sufficiente affinchè f ammetta primitiva in xo, si può affermare che una funzione ammette primitiva se è continua in un intervallo chiuso e limitato, oppure ci sono altre limitazioni?
Aiutatemi, l'orale di Analisi è ormai alle porte. Grazie dell'aiuto a chi risponderà. Buona notte a tutti.
Ciao
Paolodocet
1. Se una funzione di equazione y=f(x), definita in un intervallo chiuso e limitato [a;b] risulta essere continua, allora è integrabile;
2. Se una funzione di equazione y=f(x), definita in un intervallo chiuso e limitati [a;b] risulta essere monotona e limitata allora è integrabile;
Confermate che i criteri di integrabilità siano i suddetti?
Un'altra domanda, quando mi si chiede di dire la condizione sufficiente affinchè f ammetta primitiva in xo, si può affermare che una funzione ammette primitiva se è continua in un intervallo chiuso e limitato, oppure ci sono altre limitazioni?
Aiutatemi, l'orale di Analisi è ormai alle porte. Grazie dell'aiuto a chi risponderà. Buona notte a tutti.
Ciao
Paolodocet
Risposte
qullo che hai scrtitto tu sono le classi di funzioni integrabili;
l'integrabilità secondo Reiman parla di somme inferiori e di somme superiori. Provo a spiegare
Consideriamo un caso generale, in cui $f(x)$ sia continua non negativa, e cerchiamo di stabilire un procedimento che ci consenta di calcolare l'area della regione di piano racchiusa tra l'asse delle $x,$ il grafico di $f$ limitatamenta all'intervallo $[a;b].$ Visto che siamo in grado di calcolare l'area dei rettangoli, l'idea è quella di inscrivere, o circoscrivere, una serie di rettangoli all'interno del trapezoide, cioè unione di rettangoli, che si chiama plurirettangolo.
Per fare questo, operiamo una scomposizione dell'intero intervallo $[a;b]$ in parti non necessariamente uguali; otteniamo così una collezione di punti cosìdefinita:
$$x_0=a
$$\sigma=\{x_0=a, x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n=b\}$$
Operata la scomposizione, andiamo a considerare il valore minimo che la funzione assume in ogni intervallo, minimo che certamente esiste in quanto la funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato e per il teorema di Weirstrass ammette certamente massimo e minimo. Se lasciassimo cadere l'ipotesi di continuità invece di considerare il minimo o il massimo parleremo dell'estremo inferiore e dell'estremo superiore; tuttavia avendo supposto $f(x)$ limitata, il minimo e il massimo certamente esistono. Consideriamo allora il valore minimo che la funzione assume in un generico $[x_{k-1};x_k]$ e indichiamolo con $e_k:$
$$e_k:=\inf\{f(x): x_{k-1}\le x \le x_k\}$$
Come si osserva facilmente dalla figura, un generico rettangolo avrà una base di lunghezza $(x_k-x_{k-1})$ ed altezza $e_k.$ Allora l'area di un generico rettangolo inscritto sarà dato da:
$$A_k=(x_k-x_{k-1})\,\,e_k $$
Se naturalmente vogliamo l'area di tutto il plurirettangolo inscritto, non bisogna fare altro che sommare tutte le aree dei rettangoli ottenuti tramite la scomposizione $\sigma,$ cioè
$$ \sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})\,\,e_k $$
Naturalmente quest'area dipende sia dalla funzione $f$ e sia dal modo in cui è stata fatta la scomposizione $\sigma$ dell'intervallo $[a;b]:$ quindi possiamo usare una notazione del tipo:
\begin{align}
s(f;\sigma)=\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})\,\,e_k \qquad (1)
\end{align}
dove $s$ indica la somma inferirore relativa alla funzione $f$ e all'intervallo $[a;b].$ E' quasi naturale chaimare la $(1)$ somma inferiore poichè se consideriamo in luogo di $e_k,$
$$E_k:=\sup\{f(x): x_{k-1}\le x \le x_k\}$$
cioè l'estremo superiore che la funzione assume in un generico intervallo $[x_{k-1};x_k],$ siamo indotti a considerare le somme superiori:
\begin{align}
S(f;\sigma)=\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})\,\,E_k
\end{align}
e dunque troveremo l'area di un plurirettangolo contenente il trapezzoide. Ciò che intuitivamente si può osservare a questo punto, è che considerando le somme inferiori otteniamo una stima per difetto dell'area del trapezoide, mentre se consideriamo le somme superiori otteniamo una stima per eccesso della stessa area. Allora, considerando le somme inferiori, possiamo dire che l'area del trapezoide è l'estremo superiore, al variare della scomposizione $\sigma,$ delle somme inferiori, ed analogamente che l'area del trapezoide è l'estremo inferiore, al variare della scomposizione $\sigma,$ delle somme superiori, cioè porre:
\begin{align}
A=\sup_{\sigma}s(f;\sigma),\qquad A=\inf_{\sigma}S(f;\sigma).
\end{align}
L'area del trapezoide viene chiamato integrale e si indica con:
$$\int_{a}^{b} f(x)\, dx$$
L'integrale di Reimann
Nell'introdurre il concetto di integrale abbiamo supposto che la funzione $f$ fosse limitata e continua in un intervallo $[a,b].$ In realtà ci si accorge che la condizione di continuità è sufficiente ma non necessaria per l'integrabilità. Cioè il processo di approssimazione dell'area del trapezoide non necessita dell'ipotesi di continuità, ma solo della limitatezza di $f.$
Consideriamo allora una funzione $f,$ limitata su un intervallo $[a,b],$ cioè una funzione tale che:
\begin{align*}
m\le f(x)\le M,\qquad \forall\,\,x\in [a,b]
\end{align*}
e una scomposizione $ \sigma=\{a=x_0
\begin{align*}
s(f, \sigma)= \sum_{k=1}^n e_k(x_k-x_{k-1}),\qquad S(f, \sigma)= \sum_{k=1}^n E_k(x_k-x_{k-1})
\end{align*}
dove $e_k$ ed $E_k$ sono rispettivamente l'estremo inferiore e l'estremo superiore dei valori che la funzione assume in ogni subintervallo $[x_{k-1},x_k ].$ Evidentemente, per ogni scomposizione dell'intervallo $[a,b]$ risuterà sempre che le somme superiori sono
maggiori delle corrispondendi somme inferiori individuate dalla medesima scomposizione, cioè
\begin{align*}
s(f, \sigma)
ovvero l'area del rettangoloide contenuto nel trapezoiede sarà certamente minore dell'area del rettangoloide contenente il trapezoide. In realtà questa confronto tra le somme inferiori e le somme superiori rimane valida anche se le scomposizioni sono differenti. Infatti considerando due scomposizioni $\sigma_1$ e $\sigma_2:$ le somme inferiori amentano, (o comunque non diminuiscono) mentre le somme superiori diminuiscono (o comunque non aumentano), perchè come si nota in figura,
è stato ingrandito l'intervallo $[x_{k-1},x_k ],$ aggiungendo un un punto $c$ alla scomposizione, la somma inferiore viene aumentata dal contributo dato dal rettangolino in grigio, mentre le somme superiori vengono diminuite dal rettangolino in viola; allora se consideriamo la scomposizione $\sigma=\sigma_1\cup \sigma_2$ questa scomposizione risulta essere più fine di entrambe le scomposizioni $\sigma_1, \sigma_2$
e dunque si ha che
\begin{align*}
s(f, \sigma_1)\le s(f, \sigma )\le S(f, \sigma)\le S(f, \sigma_2)
\end{align*}
e quindi si ha che ogni somma inferiore è minore o uguale di ogni somma superiore, e ciò significa che gli insiemi numerici costituiti dalle somme inferiori e dalle somme superiori sono separati. L'integrabilità si ha quando questi due insiemi sono contigui, cioè quando l'estremo inferiore delle somme superiori e l'estremo superiore delle somme inferiori coincidono. Questa è la condizione di integrabilità di Reimann:
$$\mbox{Una funzione} f:[a,b]\to \mathbb{R}\quad \mbox{limitata si dice integrabile secondo Reimann se accada che }$$
\begin{align}
\sup s=\inf S
\end{align}
$$\mbox{Il valore comune di questi due estremi si chiama integrale di Reimann e si indica con}$$
\begin{align*}
\int_a^b f(x)\,\,dx
\end{align*}
Dalla definizione, discende immediatamente la caratterizzazione delle funzioni Reimann integrabili, cioè una funzione $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ è Reimann integrabile se e solo se $\forall \varepsilon>0$ si può trovare una scomposizione $\sigma_{\varepsilon}$ dipendente da $\varepsilon$ di $[a,b]$ tale che :
\begin{align}
S(f, \sigma_{\varepsilon})-s(f,\sigma_{\varepsilon})< \varepsilon
\end{align}
l'integrabilità secondo Reiman parla di somme inferiori e di somme superiori. Provo a spiegare
Consideriamo un caso generale, in cui $f(x)$ sia continua non negativa, e cerchiamo di stabilire un procedimento che ci consenta di calcolare l'area della regione di piano racchiusa tra l'asse delle $x,$ il grafico di $f$ limitatamenta all'intervallo $[a;b].$ Visto che siamo in grado di calcolare l'area dei rettangoli, l'idea è quella di inscrivere, o circoscrivere, una serie di rettangoli all'interno del trapezoide, cioè unione di rettangoli, che si chiama plurirettangolo.
Per fare questo, operiamo una scomposizione dell'intero intervallo $[a;b]$ in parti non necessariamente uguali; otteniamo così una collezione di punti cosìdefinita:
$$x_0=a
$$\sigma=\{x_0=a, x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n=b\}$$
Operata la scomposizione, andiamo a considerare il valore minimo che la funzione assume in ogni intervallo, minimo che certamente esiste in quanto la funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato e per il teorema di Weirstrass ammette certamente massimo e minimo. Se lasciassimo cadere l'ipotesi di continuità invece di considerare il minimo o il massimo parleremo dell'estremo inferiore e dell'estremo superiore; tuttavia avendo supposto $f(x)$ limitata, il minimo e il massimo certamente esistono. Consideriamo allora il valore minimo che la funzione assume in un generico $[x_{k-1};x_k]$ e indichiamolo con $e_k:$
$$e_k:=\inf\{f(x): x_{k-1}\le x \le x_k\}$$
Come si osserva facilmente dalla figura, un generico rettangolo avrà una base di lunghezza $(x_k-x_{k-1})$ ed altezza $e_k.$ Allora l'area di un generico rettangolo inscritto sarà dato da:
$$A_k=(x_k-x_{k-1})\,\,e_k $$
Se naturalmente vogliamo l'area di tutto il plurirettangolo inscritto, non bisogna fare altro che sommare tutte le aree dei rettangoli ottenuti tramite la scomposizione $\sigma,$ cioè
$$ \sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})\,\,e_k $$
Naturalmente quest'area dipende sia dalla funzione $f$ e sia dal modo in cui è stata fatta la scomposizione $\sigma$ dell'intervallo $[a;b]:$ quindi possiamo usare una notazione del tipo:
\begin{align}
s(f;\sigma)=\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})\,\,e_k \qquad (1)
\end{align}
dove $s$ indica la somma inferirore relativa alla funzione $f$ e all'intervallo $[a;b].$ E' quasi naturale chaimare la $(1)$ somma inferiore poichè se consideriamo in luogo di $e_k,$
$$E_k:=\sup\{f(x): x_{k-1}\le x \le x_k\}$$
cioè l'estremo superiore che la funzione assume in un generico intervallo $[x_{k-1};x_k],$ siamo indotti a considerare le somme superiori:
\begin{align}
S(f;\sigma)=\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})\,\,E_k
\end{align}
e dunque troveremo l'area di un plurirettangolo contenente il trapezzoide. Ciò che intuitivamente si può osservare a questo punto, è che considerando le somme inferiori otteniamo una stima per difetto dell'area del trapezoide, mentre se consideriamo le somme superiori otteniamo una stima per eccesso della stessa area. Allora, considerando le somme inferiori, possiamo dire che l'area del trapezoide è l'estremo superiore, al variare della scomposizione $\sigma,$ delle somme inferiori, ed analogamente che l'area del trapezoide è l'estremo inferiore, al variare della scomposizione $\sigma,$ delle somme superiori, cioè porre:
\begin{align}
A=\sup_{\sigma}s(f;\sigma),\qquad A=\inf_{\sigma}S(f;\sigma).
\end{align}
L'area del trapezoide viene chiamato integrale e si indica con:
$$\int_{a}^{b} f(x)\, dx$$
L'integrale di Reimann
Nell'introdurre il concetto di integrale abbiamo supposto che la funzione $f$ fosse limitata e continua in un intervallo $[a,b].$ In realtà ci si accorge che la condizione di continuità è sufficiente ma non necessaria per l'integrabilità. Cioè il processo di approssimazione dell'area del trapezoide non necessita dell'ipotesi di continuità, ma solo della limitatezza di $f.$
Consideriamo allora una funzione $f,$ limitata su un intervallo $[a,b],$ cioè una funzione tale che:
\begin{align*}
m\le f(x)\le M,\qquad \forall\,\,x\in [a,b]
\end{align*}
e una scomposizione $ \sigma=\{a=x_0
\begin{align*}
s(f, \sigma)= \sum_{k=1}^n e_k(x_k-x_{k-1}),\qquad S(f, \sigma)= \sum_{k=1}^n E_k(x_k-x_{k-1})
\end{align*}
dove $e_k$ ed $E_k$ sono rispettivamente l'estremo inferiore e l'estremo superiore dei valori che la funzione assume in ogni subintervallo $[x_{k-1},x_k ].$ Evidentemente, per ogni scomposizione dell'intervallo $[a,b]$ risuterà sempre che le somme superiori sono
maggiori delle corrispondendi somme inferiori individuate dalla medesima scomposizione, cioè
\begin{align*}
s(f, \sigma)
ovvero l'area del rettangoloide contenuto nel trapezoiede sarà certamente minore dell'area del rettangoloide contenente il trapezoide. In realtà questa confronto tra le somme inferiori e le somme superiori rimane valida anche se le scomposizioni sono differenti. Infatti considerando due scomposizioni $\sigma_1$ e $\sigma_2:$ le somme inferiori amentano, (o comunque non diminuiscono) mentre le somme superiori diminuiscono (o comunque non aumentano), perchè come si nota in figura,
è stato ingrandito l'intervallo $[x_{k-1},x_k ],$ aggiungendo un un punto $c$ alla scomposizione, la somma inferiore viene aumentata dal contributo dato dal rettangolino in grigio, mentre le somme superiori vengono diminuite dal rettangolino in viola; allora se consideriamo la scomposizione $\sigma=\sigma_1\cup \sigma_2$ questa scomposizione risulta essere più fine di entrambe le scomposizioni $\sigma_1, \sigma_2$
e dunque si ha che
\begin{align*}
s(f, \sigma_1)\le s(f, \sigma )\le S(f, \sigma)\le S(f, \sigma_2)
\end{align*}
e quindi si ha che ogni somma inferiore è minore o uguale di ogni somma superiore, e ciò significa che gli insiemi numerici costituiti dalle somme inferiori e dalle somme superiori sono separati. L'integrabilità si ha quando questi due insiemi sono contigui, cioè quando l'estremo inferiore delle somme superiori e l'estremo superiore delle somme inferiori coincidono. Questa è la condizione di integrabilità di Reimann:
$$\mbox{Una funzione} f:[a,b]\to \mathbb{R}\quad \mbox{limitata si dice integrabile secondo Reimann se accada che }$$
\begin{align}
\sup s=\inf S
\end{align}
$$\mbox{Il valore comune di questi due estremi si chiama integrale di Reimann e si indica con}$$
\begin{align*}
\int_a^b f(x)\,\,dx
\end{align*}
Dalla definizione, discende immediatamente la caratterizzazione delle funzioni Reimann integrabili, cioè una funzione $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ è Reimann integrabile se e solo se $\forall \varepsilon>0$ si può trovare una scomposizione $\sigma_{\varepsilon}$ dipendente da $\varepsilon$ di $[a,b]$ tale che :
\begin{align}
S(f, \sigma_{\varepsilon})-s(f,\sigma_{\varepsilon})< \varepsilon
\end{align}
Il povero Georg Friedrich Bernhard faceva Riemann di cognome, non Reimann 
E in conclusione, se mi chiede i criteri di integrabilità, cosa devo dire? Mi sembra che tu abbia detto tanto, ma poco conforme a quello che io chiedevo.
Se non ho dedotto male quanto scritto da Noisemaker
(ma prendi con le pinze quello che dico perchè non faccio matematica)
Cconsidera una funzione $f$ limitata su un intervallo $I=[a,b]$
Immagina la funzione una curva.
Secondo Reimann si deve dividere l'area della curva in intervalli
che abbiano tutti la stessa ampiezza e per questi si devono calcolare in pratica due aree,
una superiore alla curva e una inferiore, sempre relativi alle aree degli intervalli considerati.
L'integrale superiore quindi rappresenta una misura 'esterna' di $f$;
mentre l'integrale inferiore rappresenta la misura interna.
$f$ si dice integrabile se queste due misure coincidono.
(ma prendi con le pinze quello che dico perchè non faccio matematica)
Cconsidera una funzione $f$ limitata su un intervallo $I=[a,b]$
Immagina la funzione una curva.
Secondo Reimann si deve dividere l'area della curva in intervalli
che abbiano tutti la stessa ampiezza e per questi si devono calcolare in pratica due aree,
una superiore alla curva e una inferiore, sempre relativi alle aree degli intervalli considerati.
L'integrale superiore quindi rappresenta una misura 'esterna' di $f$;
mentre l'integrale inferiore rappresenta la misura interna.
$f$ si dice integrabile se queste due misure coincidono.
"Stellinelm":
Secondo Reimann...
Eddaje... Riemann si chiama
Comunque, mi sembrava che l'OP fosse interessato a condizioni sufficienti per l'integrabilità (più che alla definizione).
Le due condizioni citate sono corrette. Solo un'osservazione sulla seconda: se \(f: [a,b]\to\mathbb{R}\) è una funzione monotona, allora è automaticamente limitata, dal momento che la sua immagine è contenuta nell'intervallo di estremi \(f(a)\) e \(f(b)\).
Un attimo però...
Qui c'è da capire bene cosa voglia sapere paolodocet.
Infatti, c'è un noto teorema di Calcolo Integrale che va proprio sotto il nome di Criterio di Integrabilità di Riemann ed esprime una condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilità di una funzione limitata definita in un intervallo compatto.
Quindi se lui non chiarisce la sua domanda, non si può rispondere con certezza.
Qui c'è da capire bene cosa voglia sapere paolodocet.
Infatti, c'è un noto teorema di Calcolo Integrale che va proprio sotto il nome di Criterio di Integrabilità di Riemann ed esprime una condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilità di una funzione limitata definita in un intervallo compatto.
Quindi se lui non chiarisce la sua domanda, non si può rispondere con certezza.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo