Criteri di integrabilità funzioni a valori in $\mathbb{R}^n$
Il solito libro che leggo (Zorich - Mathematical Analysis I), propone la definizione di integrale e contestualmente dimostra il seguente teorema:
A sufficient condition for a bounded function $f$ to be integrable on a closed interval $[a,b]$ is that for every \(\displaystyle \epsilon >0 \) there exists a number \(\displaystyle \delta >0 \) such that
$$\sum_{i=1}^n \omega(f;\Delta_i) \Delta x_{i} < \epsilon$$
for any partition $P$ of $[a,b]$ with mesh $\lambda (P) < \delta $.
dove \(\displaystyle P=\{ a=x_0,x_1,...,x_{n-1},x_n=b \} \), \(\displaystyle \Delta _i = [x_{i-1},x_i] \), \(\displaystyle \Delta x_i=x_i-x_{i-1} \), \(\displaystyle \omega(f;\Delta _i):=\sup_{x,y\in \Delta_i}|f(x)-f(y)| \), \(\displaystyle \lambda (P)=\max_{i=1,...,n}\Delta x_i \).
Successivamente fa la seguente considerazione:
Remark We note that, although we are dealing at the moment with real-valued functions
on an interval, we have made no use of the assumption that the functions are
real-valued rather than complex-valued or even vector-valued functions of a point of
the closed interval [a, b], either in the definition of the integral or in the proposition
proved above.
Non vedo come sia possibile, considerando la definizione di \(\displaystyle \omega(f;\Delta _i) \), in particolare il fatto che contenga un modulo. A questo punto del testo infatti non viene introdotto nessun concetto di norma.
Secondo voi cosa intende?
Grazie in anticipo.
A sufficient condition for a bounded function $f$ to be integrable on a closed interval $[a,b]$ is that for every \(\displaystyle \epsilon >0 \) there exists a number \(\displaystyle \delta >0 \) such that
$$\sum_{i=1}^n \omega(f;\Delta_i) \Delta x_{i} < \epsilon$$
for any partition $P$ of $[a,b]$ with mesh $\lambda (P) < \delta $.
dove \(\displaystyle P=\{ a=x_0,x_1,...,x_{n-1},x_n=b \} \), \(\displaystyle \Delta _i = [x_{i-1},x_i] \), \(\displaystyle \Delta x_i=x_i-x_{i-1} \), \(\displaystyle \omega(f;\Delta _i):=\sup_{x,y\in \Delta_i}|f(x)-f(y)| \), \(\displaystyle \lambda (P)=\max_{i=1,...,n}\Delta x_i \).
Successivamente fa la seguente considerazione:
Remark We note that, although we are dealing at the moment with real-valued functions
on an interval, we have made no use of the assumption that the functions are
real-valued rather than complex-valued or even vector-valued functions of a point of
the closed interval [a, b], either in the definition of the integral or in the proposition
proved above.
Non vedo come sia possibile, considerando la definizione di \(\displaystyle \omega(f;\Delta _i) \), in particolare il fatto che contenga un modulo. A questo punto del testo infatti non viene introdotto nessun concetto di norma.
Secondo voi cosa intende?
Grazie in anticipo.
Risposte
Evidentemente dà per scontato cosa sia il modulo di un numero complesso e il modulo di un vettore.
Grazie della risposta.
Sempre sullo stesso argomento, credo di essere riuscito a far vedere che questo teorema vale anche per funzioni a valori in \(\displaystyle \mathbb{R}^n \). La dimostrazione del fatto che la condizione sia sufficiente è abbastanza semplice, mi interessava ricevere un riscontro sul fatto che tale condizione è anche necessaria, se puoi e per favore.
Se \(\displaystyle \mathbf{f}\in\mathcal{R}([a,b]) \) si ha che ogni \(\displaystyle f_j\in\mathcal{R}([a,b]) \) e dunque:
$$\sum_{k=1}^{m(P)}\omega(\mathbf{f};\Delta_k)\Delta x_k=\sum_{k=1}^{m(P)} \sup_{t_1,t_2\in \Delta_k}|\mathbf{f}(t_1)-\mathbf{f}(t_2)| \;\Delta x_k$$
$$=\sum_{k=1}^{m(P)} \sup_{t_1,t_2\in \Delta_k}\sqrt{\sum_{j=1}^n\left(f_j(t_1)-f_j(t_2)\right)^2} \;\Delta x_k\leq \sum_{k=1}^{m(P)} \sup_{t_1,t_2\in \Delta_k}\sqrt{n}\max_{j=1,...,n}\left|f_j(t_1)-f_j(t_2)\right| \;\Delta x_k\leq$$
$$\leq \sum_{k=1}^{m(P)} \sup_{t_1,t_2\in \Delta_k}\sqrt{n}\max_{j=1,...,n}\sup_{t_1,t_2\in \Delta_k}\left|f_j(t_1)-f_j(t_2)\right| \;\Delta x_k=\sum_{k=1}^{m(P)} \sup_{t_1,t_2\in \Delta_k}\sqrt{n}\max_{j=1,...,n}\omega(f_j;\Delta_k) \;\Delta x_k=$$
$$=\sum_{k=1}^{m(P)} \sqrt{n}\max_{j=1,...,n}\omega(f_j;\Delta_k) \;\Delta x_k=\sqrt{n}\sum_{k=1}^{m(P)} \omega(f_{j_0};\Delta_k) \;\Delta x_k<\sqrt{n}\cdot\frac{\epsilon}{\sqrt{n}}=\epsilon$$
dove nell'ultimo passaggio ho sfruttato il fatto che, essendo \(\displaystyle f_{j_0}\in\mathcal{R}([a,b]) \) ($j_0\in\{1,...,n\}$) si ha che $\forall\epsilon>0\exists\delta_\epsilon>0$ tale che $\sum_{k=1}^{m(P)} \omega(f_{j_0};\Delta_k) \Delta x_k<\frac{\epsilon}{\sqrt{n}}$, qualunque sia $P$ di $[a,b]$ con mesh $\lambda(P)<\delta_\epsilon$.
Vedi errori?
Grazie.
Sempre sullo stesso argomento, credo di essere riuscito a far vedere che questo teorema vale anche per funzioni a valori in \(\displaystyle \mathbb{R}^n \). La dimostrazione del fatto che la condizione sia sufficiente è abbastanza semplice, mi interessava ricevere un riscontro sul fatto che tale condizione è anche necessaria, se puoi e per favore.
Se \(\displaystyle \mathbf{f}\in\mathcal{R}([a,b]) \) si ha che ogni \(\displaystyle f_j\in\mathcal{R}([a,b]) \) e dunque:
$$\sum_{k=1}^{m(P)}\omega(\mathbf{f};\Delta_k)\Delta x_k=\sum_{k=1}^{m(P)} \sup_{t_1,t_2\in \Delta_k}|\mathbf{f}(t_1)-\mathbf{f}(t_2)| \;\Delta x_k$$
$$=\sum_{k=1}^{m(P)} \sup_{t_1,t_2\in \Delta_k}\sqrt{\sum_{j=1}^n\left(f_j(t_1)-f_j(t_2)\right)^2} \;\Delta x_k\leq \sum_{k=1}^{m(P)} \sup_{t_1,t_2\in \Delta_k}\sqrt{n}\max_{j=1,...,n}\left|f_j(t_1)-f_j(t_2)\right| \;\Delta x_k\leq$$
$$\leq \sum_{k=1}^{m(P)} \sup_{t_1,t_2\in \Delta_k}\sqrt{n}\max_{j=1,...,n}\sup_{t_1,t_2\in \Delta_k}\left|f_j(t_1)-f_j(t_2)\right| \;\Delta x_k=\sum_{k=1}^{m(P)} \sup_{t_1,t_2\in \Delta_k}\sqrt{n}\max_{j=1,...,n}\omega(f_j;\Delta_k) \;\Delta x_k=$$
$$=\sum_{k=1}^{m(P)} \sqrt{n}\max_{j=1,...,n}\omega(f_j;\Delta_k) \;\Delta x_k=\sqrt{n}\sum_{k=1}^{m(P)} \omega(f_{j_0};\Delta_k) \;\Delta x_k<\sqrt{n}\cdot\frac{\epsilon}{\sqrt{n}}=\epsilon$$
dove nell'ultimo passaggio ho sfruttato il fatto che, essendo \(\displaystyle f_{j_0}\in\mathcal{R}([a,b]) \) ($j_0\in\{1,...,n\}$) si ha che $\forall\epsilon>0\exists\delta_\epsilon>0$ tale che $\sum_{k=1}^{m(P)} \omega(f_{j_0};\Delta_k) \Delta x_k<\frac{\epsilon}{\sqrt{n}}$, qualunque sia $P$ di $[a,b]$ con mesh $\lambda(P)<\delta_\epsilon$.
Vedi errori?
Grazie.
@Ianero
[ot]ciao Ianero
Non mi intrometto nei dettagli del tread piuttosto per caso tutto questo è per parlare della lunghezza di una curva? Perché secondo me con questa proposizione si perde un po’ il senso della cosa; solitamente c’è una dimostrazione standard che lega la lunghezza di una curva con l’integrale del modulo[/ot]
[ot]ciao Ianero
Non mi intrometto nei dettagli del tread piuttosto per caso tutto questo è per parlare della lunghezza di una curva? Perché secondo me con questa proposizione si perde un po’ il senso della cosa; solitamente c’è una dimostrazione standard che lega la lunghezza di una curva con l’integrale del modulo[/ot]
@anto_zoolander
[ot]No, almeno credo che per ora non c'entri. Sto semplicemente cercando una condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilità di funzioni, prima a valori in \(\displaystyle \mathbb{R} \), poi anche in \(\displaystyle \mathbb{R}^n \).[/ot]
[ot]No, almeno credo che per ora non c'entri. Sto semplicemente cercando una condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilità di funzioni, prima a valori in \(\displaystyle \mathbb{R} \), poi anche in \(\displaystyle \mathbb{R}^n \).[/ot]
"Ianero":
[...] Sto semplicemente cercando una condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilità di funzioni, prima a valori in \(\displaystyle \mathbb{R} \), poi anche in \(\displaystyle \mathbb{R}^n \).
Se ne cerchi una qualunque, vedi per esempio il Teorema 3.8 di Calculus on Manifolds, Spivak:
Theorem. Let \( A \subseteq \mathbb{R}^n \) be a rectangle and \( f: A \to \mathbb{R} \) a bounded function. Then \(f\) is integrable if and only if the set \( \{ x \in A \, : \, f \text{ is not continuous at } x \} \) has measure zero.
La nozione di "misura zero" e' data in senso naïve, quindi senza scomodare la Teoria della Misura.
Conosco quel criterio, attualmente però sto semplicemente cercando di capire se la condizione espressa nel messaggio [1] (in quell'occasione ho scritto solo che è una condizione sufficiente, ma in realtà è anche necessaria) si può estendere anche alle funzioni a valori in \(\displaystyle \mathbb{R}^n \).
Grazie della risposta comunque
Grazie della risposta comunque
"Ianero":
Conosco quel criterio, attualmente però sto semplicemente cercando di capire se la condizione espressa nel messaggio [1] (in quell'occasione ho scritto solo che è una condizione sufficiente, ma in realtà è anche necessaria) si può estendere anche alle funzioni a valori in \(\displaystyle \mathbb{R}^n \).
Grazie della risposta comunque
Comunque la tua dimostrazione mi sembra corretta. Ad un certo punto c'e' un typo pero', hai scritto due volte \(\sup_{t_1, t_2 \in \Delta_k} \).
Dove dici?
Se ti riferisci alla riga dove ci sono 2 sup e 1 max, quel doppio sup ci deve stare e quel passaggio mi serve perchè a proprio non posso scambiare max e sup (nelle righe precedenti dove c’è un solo max e un solo sup).
Se ti riferisci alla riga dove ci sono 2 sup e 1 max, quel doppio sup ci deve stare e quel passaggio mi serve perchè a proprio non posso scambiare max e sup (nelle righe precedenti dove c’è un solo max e un solo sup).
"Ianero":
$$\leq \sum_{k=1}^{m(P)} \sup_{t_1,t_2\in \Delta_k}\sqrt{n}\max_{j=1,...,n}\sup_{t_1,t_2\in \Delta_k}\left|f_j(t_1)-f_j(t_2)\right| \;\Delta x_k=\sum_{k=1}^{m(P)} \sup_{t_1,t_2\in \Delta_k}\sqrt{n}\max_{j=1,...,n}\omega(f_j;\Delta_k) \;\Delta x_k=$$
Mi riferivo a RHS della parte quotata, la somma non dipende piu' da \( t_1 \) e \(t_2\). Ma ho ricontrollato e ho visto che nel passaggio dopo quel sup l'hai tolto, quindi va bene.
Ah sì sì, era volutamente lasciato per fare un passaggio alla volta.
Grazie
Grazie
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