Criteri di convergenza per Serie numeriche..
Salve, sono uno studente di ingegneria ed avrei qualche problema con le serie.
A livello teorico tutto sommato ci siamo, ho difficoltà ad usare i criteri di convergenza nella risoluzione degli esercizi. In particolare la mia domanda è questa: Posso usare un qualsiasi criterio di convergenza per una qualsiasi serie, oppure ci sono degli standard da seguire?
Per esempio: $f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{e^{(1/n)}-(1)}$ io l'ho risolta con il criterio del rapporto.
Siccome il limite mi viene finito e minore di 1, la serie è convergente. Ho fatto bene? E' corretto operare in generale in questo modo? GRAZIE
Non sono ancora molto pratico con l'editor, qundi cerco di scrivervi la seria così: sum (che va da 1 a infinito)[e^(1/n) -1]
A livello teorico tutto sommato ci siamo, ho difficoltà ad usare i criteri di convergenza nella risoluzione degli esercizi. In particolare la mia domanda è questa: Posso usare un qualsiasi criterio di convergenza per una qualsiasi serie, oppure ci sono degli standard da seguire?
Per esempio: $f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{e^{(1/n)}-(1)}$ io l'ho risolta con il criterio del rapporto.
Siccome il limite mi viene finito e minore di 1, la serie è convergente. Ho fatto bene? E' corretto operare in generale in questo modo? GRAZIE
Non sono ancora molto pratico con l'editor, qundi cerco di scrivervi la seria così: sum (che va da 1 a infinito)[e^(1/n) -1]
Risposte
E' questa \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} e^{\frac{1}{n}}- 1 \) ?
si
Per quella serie il criterio del rapporto è inconcludente, il limite risulta infatti $1$. Fai bene i conti.
In ogni caso posso dirti che quella serie diverge poiché in virtù del limite notevole: $lim_(ntooo) (e^(1/n)-1)/(1/n) = 1$, deduci che $e^(1/n)-1 sim 1/n$ per $ntooo$ e quindi per confronto asintotico con la serie armonica concludi subito.
In generale, cercare di valutare l'ordine di infinitesimo del termine generale costituisce il metodo più rapido ed efficace per stabilire il carattere di una serie numerica. Sto parlando di serie a termini positivi, per quelle a segno alterno di solito si va di criterio di Leibniz.
Comunque, non fa male neppure esercitarsi nell'uso dei criteri classici, come quello del rapporto o della radice. Molti esercizi sono fatti a posta per spingerti ad utilizzarli, sta a te capire quale criterio conviene a seconda della serie che hai davanti.
In ogni caso posso dirti che quella serie diverge poiché in virtù del limite notevole: $lim_(ntooo) (e^(1/n)-1)/(1/n) = 1$, deduci che $e^(1/n)-1 sim 1/n$ per $ntooo$ e quindi per confronto asintotico con la serie armonica concludi subito.
In generale, cercare di valutare l'ordine di infinitesimo del termine generale costituisce il metodo più rapido ed efficace per stabilire il carattere di una serie numerica. Sto parlando di serie a termini positivi, per quelle a segno alterno di solito si va di criterio di Leibniz.
Comunque, non fa male neppure esercitarsi nell'uso dei criteri classici, come quello del rapporto o della radice. Molti esercizi sono fatti a posta per spingerti ad utilizzarli, sta a te capire quale criterio conviene a seconda della serie che hai davanti.
ok, grazie mille
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