Criteri di convergenza di una serie

[angivi]

ciao a tutti, qualcuno può aiutarmi a studiare il comportamento di questa serie?
$ sum_(n = 1) ^oo [sin(1+1/sqrt(n))]^n $

tramite il criterio della radice io avrei fatto questi passaggi:
$ lim_(n -> oo) [sin(1+1/sqrt(n))]^(n*1/n)=lim_(n -> oo) sin(1+1/sqrt(n))=sin(1) $

e tramite il criterio del rapporto:
$ [sin(1+1/sqrt(n+1))]^(n+1)/[sin(1+1/sqrt(n))]^(n)~ sin(1)^(n+1)/(sin(1)^n)=sin(1) $

innanzitutto, sono giusti i passaggi?e quanto vale sin(1)?!

poi con il criterio del confronto non so neanche da dove cominciare...

grazie in anticipo!!

[asker993]

è una serie a termini positivi e puoi applicare il criterio della radice e se ottieni $sen(1)$ cosa significa? Quando converge per il criterio della radice una serie? E partiamo dal presupposto che $-1=

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[angivi]

per il criterio della radice la serie converge se il limite $l$ è $(0<)l<1$, e si ha $-1<=sinx<=1$ ma proprio per questo dico:quanto vale sen(1)?
e per gli altri criteri come si fa?

[asker993]

$sen(1)$ è un numero "piccolo" maggiore di 0 e minore di 1..però dai potevi usare una calcolatrice....per gli altri criteri dipende...in questo caso hai fatto bene ad usare quello della radice, piu immediato. In che senso come si fa con gli altri criteri? Non li conosci o non sai applicare in questo caso? Comunque non serve che applichi tutti i criteri se lo risolvi con un altro...

[angivi]

conosco i criteri e avevo già calcolato sen(1) con la calcolatrice, infatti mi veniva che la serie convergeva, stesso con il criterio del rapporto, ma il risolutore online per la convergenza delle serie mi dice che la serie è divergente quindi ho immaginato di aver sbagliato qualcosa e sono passata a cercare di applicare il criterio del confronto e mi pare proprio che il limite non faccia 0 (condizione necessaria per la convergenza)...che devo fare?

[asker993]

mmm...se il calcolatore dice che diverge può essere, ma sono abbastanza sicuro che converga questa serie...aspettiamo altri magari che confermano oppure no

[angivi]

ok intanto grazie!!tu per il criterio del confronto cosa faresti?

[asker993]

EDIT: sbagliato.

[angivi]

si ma perchè dici che è asintotico a quello? io so che $sin x ~ x$ se $x ->0$ ma in questo caso l'argomento del seno tende a 1 non a 0...!

[asker993]

ERRORACCIO! Scusami....adesso che la guardo meglio sta serie è un pò "strana"..cioè, con il criterio della radice converge...non vedo come possa divergere, però non riuscirei a trovarti un confronto facilmente dato che non so bene come si comporta $sen(1)^n$...che tende a $0$ è sicuro, però non so come...

[angivi]

ok grazie!!:)

[Shocker1]

Comunque, se non erro, la condizione necessaria di convergenza c'è. Cioè: $lim_{n->+oo} a_n = 0$

Infatti $lim_(n -> oo) [sin(1+1/sqrt(n))]^n = lim_(n -> oo) exp{n * log(sin(1 + 1/sqrt(n)))} = e^(+oo * log(sin(1))) = e^(-oo) = 0$

Per quanto riguarda il th. del confronto, sempre se non erro, puoi fare una cosa del genere:
posto $x = 1+ 1/sqrt(n)$

vale la seguente relazione:
$sin(x)/x < 1/cos(x)$
dato che $x >0$ allora: $sin(x) < x/cos(x)$, elvando tutto alla $n$ hai $(sin(x))^n < (x/cos(x))^n$

Spero di non aver sbagliato nulla

Ciao