Criteri di compattezza
Ben noto è il Teorema di Ascoli-Arzelà che serve a caratterizzare i compatti di $(C(X), ||\cdot||_oo)$, con $X$ spazio metrico compatto:
in particolare il Teorema di A-A vale se $X$ è un compatto di $RR^n$.
Esiste anche una condizione necessaria e sufficiente a garantire compattezza in $L^p(RR^n)$ (con $1lep<+oo$): affinché una famiglia $F subseteq L^p(RR^n)$ sia compatta basta che essa sia chiusa, che verifichi una sorta di "equicontinuità integrale" e che le funzioni di $F$ abbiano norma piccola "tutte allo stesso modo" intorno all'infinito (questa l'ho detta un po' approssimativamente: per maggiori informazioni vedere Brezis, Analisi Funzionale - teoria e applicazioni, cap IV, par. 5).
Ovviamente, se si elimina la chiusura, si ottiene una caratterizzazione delle famiglie relativamente (sequenzialmente) compatte.
Mi chiedevo: esistono criteri di compattezza simili negli spazi di successioni, come $(c_0,||\cdot||_oo)$ ed $(l^p,||\cdot||_p)$ (con $1le p le +oo$)?
Per $c_0$ sarebbe semplice riformulare il Teorema di A-A come segue: "Una famiglia $F subseteq c_0$ è compatta se e solo se essa è chiusa, limitata in norma ed equiinfinitesima (nel senso che $AA epsilon>0, exists nu in NN: quad AAx=(x_n) in F, AA n> nu, |x_n|le epsilon$)". Che la condizione sia necessaria è abbastanza evidente (chiusura e limitatezza in norma sono banali; per l'equiinfinitesimalità basta usare la totale limitatezza del compatto $F$); forse la sufficienza è un po' più difficile, ma non mi sono ancora messo seriamente a ragionarci su (a occhio l'ipotesi di limitatezza mi aiuta ad estrarre da una successione di elementi di $F$ una sottosuccessione le cui prime, seconde, terze, ..., $n$-esime coordinate siano convergenti...).
Che ve ne sembra?
E per $l^p$? Qualche idea?
Una famiglia $F subseteq C(X)$ è compatta se e solo se essa è chiusa, limitata in norma ed equiuniformemente continua.
in particolare il Teorema di A-A vale se $X$ è un compatto di $RR^n$.
Esiste anche una condizione necessaria e sufficiente a garantire compattezza in $L^p(RR^n)$ (con $1lep<+oo$): affinché una famiglia $F subseteq L^p(RR^n)$ sia compatta basta che essa sia chiusa, che verifichi una sorta di "equicontinuità integrale" e che le funzioni di $F$ abbiano norma piccola "tutte allo stesso modo" intorno all'infinito (questa l'ho detta un po' approssimativamente: per maggiori informazioni vedere Brezis, Analisi Funzionale - teoria e applicazioni, cap IV, par. 5).
Ovviamente, se si elimina la chiusura, si ottiene una caratterizzazione delle famiglie relativamente (sequenzialmente) compatte.
Mi chiedevo: esistono criteri di compattezza simili negli spazi di successioni, come $(c_0,||\cdot||_oo)$ ed $(l^p,||\cdot||_p)$ (con $1le p le +oo$)?
Per $c_0$ sarebbe semplice riformulare il Teorema di A-A come segue: "Una famiglia $F subseteq c_0$ è compatta se e solo se essa è chiusa, limitata in norma ed equiinfinitesima (nel senso che $AA epsilon>0, exists nu in NN: quad AAx=(x_n) in F, AA n> nu, |x_n|le epsilon$)". Che la condizione sia necessaria è abbastanza evidente (chiusura e limitatezza in norma sono banali; per l'equiinfinitesimalità basta usare la totale limitatezza del compatto $F$); forse la sufficienza è un po' più difficile, ma non mi sono ancora messo seriamente a ragionarci su (a occhio l'ipotesi di limitatezza mi aiuta ad estrarre da una successione di elementi di $F$ una sottosuccessione le cui prime, seconde, terze, ..., $n$-esime coordinate siano convergenti...).
Che ve ne sembra?
E per $l^p$? Qualche idea?
Risposte
Un posto dove puoi sicuramente trovare almeno gli enunciati di quello che cerchi è il bel libro di problemi di Costara-Popa, Exercises in Functional Analysis (2003) (mi pare capitolo 4 o 5, quando fa la compattezza: proprio all'inizio del capitolo, prima dei problemi, c'è una specie di "Prontuario della compattezza").
Per \( \ell^p\) mi pare di ricordare che (almeno per $p\ne +\infty$) un sottoinsieme $K$ sia (fortemente) relativamente compatto se e solo se è limitato e "le code sono equilimitate", i.e. per ogni \(\varepsilon>0\) esiste \(n \in \mathbb N\) tale che
\[
\sum_{k=n}^{\infty} \vert x_k\vert^p < \varepsilon
\]
per ogni $x in K$.
Per \( \ell^p\) mi pare di ricordare che (almeno per $p\ne +\infty$) un sottoinsieme $K$ sia (fortemente) relativamente compatto se e solo se è limitato e "le code sono equilimitate", i.e. per ogni \(\varepsilon>0\) esiste \(n \in \mathbb N\) tale che
\[
\sum_{k=n}^{\infty} \vert x_k\vert^p < \varepsilon
\]
per ogni $x in K$.
Grazie per il riferimento Paolo, ci guarderò.
In verità ieri sera spulciavo tra i miei vecchi post e mi è partito un bump su questo thread, che, per quanto interessante, è abbastanza datato (probabilmente risale a quando stavo studiando Analisi Funzionale).
Scusate tanto.
In verità ieri sera spulciavo tra i miei vecchi post e mi è partito un bump su questo thread, che, per quanto interessante, è abbastanza datato (probabilmente risale a quando stavo studiando Analisi Funzionale).
Scusate tanto.
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