Crisi di serie

[Archimede87]

Vi prego di aiutarmi a studiare il carattere di queste dannate serie che proprio non mi vogliono entrare


$sum_(n=1)^(+oo) (n^2-5n)/(n^2*sqrtn+1)$

$sum_(n=1)^(+oo) log^3((n+1)/n)$

$sum_(n=1)^(+oo) (sen^2 logn)/(5^n+3)$

Grazie anticipatamente a chiunque sia disposto a darmi una mano

[Pulcepelosa]

"Archimede87":Vi prego di aiutarmi a studiare il carattere di queste dannate serie che proprio non mi vogliono entrare
$sum_(n=1)^(+oo) (n^2-5n)/(n^2*sqrtn+1)$
$sum_(n=1)^(+oo) log^3((n+1)/n)$
$sum_(n=1)^(+oo) (sen^2 logn)/(5^n+3)$
Grazie anticipatamente a chiunque sia disposto a darmi una mano

$sum_(n=1)^(+oo) (n^2-5n)/(n^2*sqrtn+1)=sum_(n=1)^(+oo) n^2(1-5/n)/(n^(5/2)(1+1/n^(5/2)))$ è asintotica ad $sum_(n=1)^(+oo)1/sqrtn$

$sum_(n=1)^(+oo) log^3((n+1)/n)=sum_(n=1)^(+oo) log^3(1+1/n)=sum_(n=1)^(+oo) 1/n*log^3(1+1/n)^n$ è asintotica ad$1/n$ perché il logaritmo tende a $1^3$ se non ho sbagliato i ragionamenti

[Pulcepelosa]

$sum_(n=1)^(+oo) (sen^2 logn)/(5^n+3)

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[Archimede87]

Grazie mille, ma possibilmente potreste risolvermele con uno dei seguenti criteri:radice, confronto, rapporto, infinitesimi?

[Fioravante Patrone1]

on behalf of Pulcepelosa, servizio di traduzione (anche se magari un po' approssimativo):

carabiniere destro = confronto

asintotica a = ordine di infinitesimo

@Archimede87:
avresti dovuto accorgertene!
non è tanto importante il nome che viene dato ai criteri, ma le proprietà matematiche che li sottendono
ciao

[fabry1985mi]

"Pulcepelosa":
$sum_(n=1)^(+oo) log^3((n+1)/n)=sum_(n=1)^(+oo) log^3(1+1/n)=sum_(n=1)^(+oo) 1/n*log^3(1+1/n)^n$ è asintotica ad$1/n$ perché il logaritmo tende a $1^3$ se non ho sbagliato i ragionamenti

Scusatemi se mi intrometto, ma secondo me c'è un errore; dato che:
$log(1+1/n)~1/n$ per $n->+infty$
segue che:
$log^3(1+1/n)~1/n^3$ per $n->+infty$
dunque:
$sum_(n=1)^(+infty) log^3((n+1)/n)$ converge per il criterio del confronto asintotico con la serie armonica generalizzata di esponente $3>1$
Secondo me il tuo sbaglio è nel passaggio:
$sum_(n=1)^(+oo) log^3(1+1/n)=sum_(n=1)^(+oo) 1/n*log^3(1+1/n)^n$
dovrebbe essere:
$sum_(n=1)^(+oo) log^3(1+1/n)=sum_(n=1)^(+infty)log(1+1/n)log(1+1/n)log(1+1/n)=sum_(n=1)^(+infty)1/n^3n^3log(1+1/n)log(1+1/n)log(1+1/n)=sum_(n=1)^(+infty)1/n^3nlog(1+1/n)nlog(1+1/n)nlog(1+1/n)$
$=sum_(n=1)^(+infty)1/n^3log(1+1/n)^nlog(1+1/n)^nlog(1+1/n)^n=sum_(n=1)^(+infty)1/n^3$

[Pulcepelosa]

Difatti non ne ero sicuro, grazie per la delucidazione

[Archimede87]

Grazie mille. Solo un problemino: ce ne sarebbero delle altre:

$sum_(n=1)^(+oo) 1/2^n * arcsen1/n$

$sum_(n=1)^(+oo) (1+e^(-1))/(3n+1)$

$sum_(n=1)^(+oo) (e^cosn)/(5^n*(1+logn)$

Grazie ancora

[Pulcepelosa]

Scusa, ma dove incappano i tuoi ragionamenti?
Altrimenti tu le scivi e noi le svolgiamo

La prima sono due infinitesimi, quindi tende a zero piuttosto velocemente, quanto? abbastanza da essere convergente?
Nella seconda c'é un termine solo che influenza l'andamento della serie ed è n; tutto il resto, per n abbastanza grandi, diventa trascurabile.
Nella terza forse ti potrà dare fastidio quel numeratore, in realtà resta sempre compreso tra $1/e$ ed $e$

[Archimede87]

Beh non so proprio da dove cominciare con la prima. $1/2^n$ va a zero più velocemente dell'arcoseno ma non vedo a cosa possa servirmi.

Nella seconda arrvio a questo risultato

$sum_(n=1)^(+oo) (e+1)/(3ne+e)$ ma non so come continuare

Per quanto riguarda la terza posso dire che è asintotica a $(2e)/5^n$ che diverge. Ma non mi trovo i quanto dovrebbe convergere...

[TomSawyer1]

Nella seconda prova a riscrivere, perche' non si capisce. Comunque, tieni conto che $sum_(n=1)^(+infty)c/(an^m)$ converge per $m>1$.

Per la terza, hai che, infatti, $sum_(n=1)^(+infty)(2e)/(5^n)$ converge.

[fabry1985mi]

Scusatemi se mi intrometto

"Archimede87":Beh non so proprio da dove cominciare con la prima. $1/2^n$ va a zero più velocemente dell'arcoseno ma non vedo a cosa possa servirmi.

Se tu poni:
$a_n?1/2^narsin (1/n)$
essendo che questa successione è a termini positivi puoi applicare il criterio del confronto asintoticoco e ottieni:
$a_n~1/(n2^n)$ per $n->+infty$
ora si può notare che:
$n2^n>=2^n Leftrightarrow 1/(n2^n)<=1/2^n forall n in mathbb{N}-{0}$
dunque sfruttando questa disuguaglianza ottieni che la serie associata all successione
$1/2^n$ converge perchè è una serie geometrica di ragione $-1<1/2<1$ e quindi per il criterio
del confronto converge anche la serie associata alla successione $1/(n2^n)$, infine per il criterio del confronto
asintotico converge pure la serie associata alla successione $a_n$. Abbiamo così provato che la serie da te proposta è convergente.

[fabry1985mi]

"Archimede87":
Nella seconda arrvio a questo risultato

$sum_(n=1)^(+oo) (e+1)/(3ne+e)$ ma non so come continuare

Credo ci sia qualche errore nella digitazione comunque ponendo:
$a_n=(1 + e^(-1))/(3n+1)~(1 + e^(-1))/(3n)$ per $n->+infty$
ora si osserva che la quantià:
$(1 + e^(-1))/3$ è costante(cioè non dipendo da $n$); dunque:
$sum_(n=1)^(+oo) (1+e^(-1))/(3n+1)=sum_(n=1)^(+oo) (1 + e^(-1))/(3n)=(1 + e^(-1))/3sum_(n=1)^(+oo)1/n$
cioe il carattere della tua serie è uguale al caratte di un multiplo della serie armonica che sai essere divergente, quindi ancora una volta puoi concludere con il criterio del confronto asintotico che la tua serie diverge

[fabry1985mi]

"Archimede87":Per quanto riguarda la terza posso dire che è asintotica a $(2e)/5^n$ che diverge. Ma non mi trovo i quanto dovrebbe convergere...

Anche qui ci sono alcuni errori; poniamo sempre:
$a_n=e^(cosn)/(5^n(1+logn))$
notiamo innanzitutto che $a_n>0 forall n>=1$ perchè sono positivi sia il numeratore che il denominatore infatti:
$0<1/e=e^(-1)<=e^(cosn)<=e^1=e$
dunque abbiamo che:
$a_n=e^(cosn)/(5^n+5^nlogn)<=1/(5^n+5^nlogn)~1/(5^nlogn)$
ma essendo che:
$sum_(n=1)^(+infty) 1/(5^nlogn)$ è convergente perchè è maggiorata da:
$1/(5^nlogn)<=1/5^n$ che è la successione geometrica di ragione $-1<1/5<1$
allora anche la serie iniziale converge per il criterio del confronto e del confronto asintotico

[Archimede87]

Purtroppo il criterio del confronto asintotico non l'ho studiato in quanto non fa parte del programma. Ho capito come avete risolto l'ultima, ma non le altre due. Inoltre ho sbagliato una traccia.

$sum_(n=1)^(+oo) 1/2^n * arcsen1/n$

$sum_(n=1)^(+oo) (1+e^(-n))/(3n+1)$

Grazie ancora dell'aiuto

[TomSawyer1]

Per l'ultima che hai scritto, considera che il numeratore tende a 1, e il grado della $n$ al denominatore e' 1, cioe' ti puoi rincodurre alla solita serie armonica divergente.

Forse ti hanno spiegato il confronto asintotico, dicendoti che se $a_n~~b_n$, allora la natura delle serie di queste successioni e' la stessa.

[Archimede87]

provo con un'altra

$sum_(n=1)^(+oo) (n^2+1)/(2^n*(n^2+5))$

$sum_(n=1)^(+oo) (n^2+1)/(2^n*(n^2+5))
Ma questa serie converge, infatti applicando il criterio del rapporto

$lim_(n->+oo) (n^2+2)/(2^n*2)*2^n/(n^2+1)=1/2<1$

Va bene risolta così?

[TomSawyer1]

Hai $lim_(nto+infty)((n+1)^2+1)/(2^n*2)*2^n/(n^2+1)=lim_(nto+infty)(n^2+2n+2)/(2(n^2+1))=...$, ma la conclusione e' la stessa.

[Archimede87]

No, il confronto asintotico non c'è proprio nè sul libro nè nel programma...