Crescenza/Decresenza

[Andrea@BS]

Salve a tutti.
Potrei chiedervi come risolvereste questo tipo di disequazione?

$ f(x)= cosx*[-1/(2sqrt(2- sin x)) + 1/(2sqrt(3)sqrt(|sin x|)) * |sin x|/sin x] >= 0 $

Io ho pensato di studiare prima il $ cos x >= 0 $ poi la seconda parte separandola in base al valore positivo o negativo di $ |sin x|/sin x $, cioè:

$f(x)={(-1/(2sqrt(2- sin x)) + 1/(2sqrt(3)sqrt(|sin x|)),if 0
Se così dovesse essere corretto dovrei studiare entrambe le disequazioni con un $ >= 0 $ facendo minimo comune multiplo e via dicendo?

[Antimius]

Osserva che puoi togliere anche il modulo sotto la radice, che diventa $\sin x$ nel primo caso e $-\sin x$ nel secondo. Sì, puoi risolverla facendo il minimo comune multiplo ecc.

[Andrea@BS]

Grazie della risposta Antimius.
Ho proseguito e mi trovo nuovamente in difficoltà.
Dopo aver fatto il mcm sulla prima ($ 0
$f(x)= (-sqrt(3)sqrt(sin x)+sqrt(2-sin x))/(2sqrt(3)sqrt(2-sin x)sqrt(sin x)) >= 0 $

Il numeratore risulta

$sin x <= 1/2$ (aprendo una parentesi, è la stessa cosa scrivere $x <= arcsin (1/2) $??)

che sarebbe $ 0<=x<=pi/6$ U $5/6pi<=x<=2pi$ (sopra ho aperto appunto la parentesi per chiedervi: l'arcsin non ha codominio $ -pi/2<=x<=pi/2$ e quindi $5/6pi<=x<=2pi$ non accettabile?)

Il denominatore

$0
Mentre sulla seconda ( $pi
$f(x)= (-sqrt(3)sqrt(-sin x)-sqrt(2-sin x))/(2sqrt(3)sqrt(2-sin x)sqrt(-sin x)) >= 0 $

Numeratore

$sin x >= 1/2$

risulta $pi/6<=x<=5/6pi$

Denominatore $sin x < 0$

risulta $pi
e qui non so come determinare il risultato...

[Ziben]

"Andrea@BS":
Il numeratore risulta

$ sin x <= 1/2 $ (aprendo una parentesi, è la stessa cosa scrivere $ x <= arcsin 1/2 $??)

che sarebbe $ 0<=x<=pi/6 $ U $ 5/6pi<=x<=2pi $ (sopra ho aperto appunto la parentesi per chiedervi: l'arcsin non ha codominio $ -pi/2<=x<=pi/2 $ e quindi $ 5/6pi<=x<=2pi $ non accettabile?)

Ciao. Attenzione. dovresti scrivere $x\leq arcsin(1/2)$
In ogni caso la soluzione è $ 0<=x<=pi/6$ e $5/6 pi \leq x \leq\pi$ perché hai imposto che $sinx\geq 0$ quindi per $pi
per la seconda nota che a numeratore hai la somma algebrica di due termini negativi in quanto i radicali sono valori positivi, pertanto quel numeratore non sarà mai positivo tutt'al più può essere nullo, ma neanche questo può accadere perché $sqrt(2-sinx)$ non si annulla mai.

Immagino che tu hai trovato la tua soluzione facendo $-sqrt(3)sqrt(-sinx) \geq sqrt(2-sinx)$ e poi quadrando, cosa che non si può fare perché a sx hai un termine negativo e a dx uno positivo

[Andrea@BS]

Hai ragionissimo!!!!!! E' vero. Grazie Ziben

[Ziben]

di nulla, figurati.

[Antimius]

"Andrea@BS":

$sin x <= 1/2$ (aprendo una parentesi, è la stessa cosa scrivere $x <= arcsin (1/2) $??)

E' la stessa cosa solo nell'intervallo in cui l'arcoseno è definito, cioè per $x \in [-\pi/2, \pi/2]$. Perciò è equivalente a dire $ -\pi/2 \leq x \leq \pi/6$. Quindi $x \leq \arcsin \frac{1}{2}$ non comprende tutte le soluzioni, ma solo quelle nel I e IV quadrante