Crescenza - Monotonìa di successioni
Sia $a_n = (n-n^2)/(1+n), AAn in N$
a) Dire se la $a_n$ è monotona e, in caso affermativo, specificare il tipo di monotonìa
b) determinare inf${a_n}$, sup${a_n}$ e indicare, se esistono, $min{a_n} $ e $ max{a_n}$
come devo procedere? grazie mille
a) Dire se la $a_n$ è monotona e, in caso affermativo, specificare il tipo di monotonìa
b) determinare inf${a_n}$, sup${a_n}$ e indicare, se esistono, $min{a_n} $ e $ max{a_n}$
come devo procedere? grazie mille
Risposte
Io proverei a scrivere la funzione associata $f(x)=(x^2-x)/(1+x)$ e vedere se questa è monotona.
"Luca.Lussardi":
Io proverei a scrivere la funzione associata $f(x)=(x^2-x)/(1+x)$ e vedere se questa è monotona.
ok, grazie! basta solo questo?
Beh, un rapido studio della funzione ti dice praticamente tutto...
quindi l'unico modo è procedere così? perchè, visto l'esercizio, che fa parte di un esame (che contiene già uno studio di funzione), pensavo si dovesse ricorrere ad altri metodi...
Potrebbero anche esistere altri metodi, ma il più funzionale credo che sia questo. Comunque basta uno studio molto rapido della funzione, non certo uno studio completo.
quindi calcolo la derivata e ne studio la positività?
Sì, questo basta per la monotonia.
ottimo, grazie mille!! invece per la domanda b, dopo aver studiato la monotonia chiaramente vedo quali sono eventuali punti di max e min..ma ragiono sempre come se fosse una normale funzione, anche se si tratta di successione?
Sì, per quella stai attenta nel caso dovessi trovare che la funzione ha dei punti di massimo o minimo assoluti; in tal caso va fatto con cura il "ritorno" alla successione, ma da un disegno di funzione e successione dovrebbe tutto essere molto chiaro.
ecco, ma il "ritorno" in che modo lo faccio?
Dammi qualche risultato parziale che vediamo di discutere.
allora, ho calcolato la positività di f' e mi viene fuori che la funzione è:
- crescente in $(-1-sqrt2,-1)$ e $(-1+sqrt2,+oo)$
- decrescente in $(-oo, -1-sqrt2) e (-1, -1+sqrt2)$
posto qui anche la derivata che mi è venuta fuori:
$f'(x)=(-x^2-2x+1)/(1+x)^2$ , DOMINIO: $x in (-oo, -1)uu(-1, +oo)$
- crescente in $(-1-sqrt2,-1)$ e $(-1+sqrt2,+oo)$
- decrescente in $(-oo, -1-sqrt2) e (-1, -1+sqrt2)$
posto qui anche la derivata che mi è venuta fuori:
$f'(x)=(-x^2-2x+1)/(1+x)^2$ , DOMINIO: $x in (-oo, -1)uu(-1, +oo)$
Mmmm... la derivata va bene, ma la monotonia non molto eh...
hai ragione! era così, giusto?
- decrescente in $(-1-sqrt2,-1)$ e $(-1+sqrt2,+oo)$
- crescente in $(-oo, -1-sqrt2) e (-1, -1+sqrt2)$
- decrescente in $(-1-sqrt2,-1)$ e $(-1+sqrt2,+oo)$
- crescente in $(-oo, -1-sqrt2) e (-1, -1+sqrt2)$
Esatto, quindi dovresti capire cosa fa la successione: $a_0=a_1=0$ e $a_n<0$ per ogni $n > 1$, e sta sul grafico di una funzione monotona strettamente decrescente. Quindi $a_n$ è monotona strettamente decrescente per $n>1$; trovi facilmente tutto il resto ora.
ti ringrazio infinitamente 
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