Crescenza e decrescenza di una funzione

[intrulli]

Salve ragazzi,
sto preparando l'esame di Analisi Matematica e oggi mi sono bloccato su questo (primo) esercizio riguardante lo studio di funzione.
La funzione da studiare è:

$ f(x) = x(ln(e^x+1)-1/2) $

Dopo aver ricavato dominio, intersezione con asse X, studio del segno e comportamento ai bordi (il dominio è tutto R), verificata l'assenza di asintoti, dovrei calcolare decrescenza e crescenza.
Pertanto, ho calcolato la derivata prima della funzione e posta $ f'(x) >= 0 $ .
Ho ottenuto questa disequazione, complicatissima da risolvere (almeno per me):

$ (log(e^x +1) -1/2) + ((xe^x) / (e^x +1)) >= 0 $

Come andrebbe risolta? Sono fermo a questo punto.

Grazie in anticipo

[Wladimiro]

Prova a considerare il problema da questo punto di vista:
Il prodotto di due funzioni crescenti e positive è crescente, di due funzioni crescenti e negative è decrescente.