Credo di avere un dubbio sulla convergenza uniforme

[wiski1]

Ciao volevo chiedere delle delucidazioni su questa osservazione del prof sulla convergenza uniforme

ho una successione di fuzioni fn in dominio S.

OSS:
introducendo la successione di numeri $a_n:=s up_(zinS)|f_n(z)-f(z)| possiamo concludere che la successione (fn) converge uniformemente su S a $f :S->C$
se e solo se
$lim_(n->oo) a_n = 0$

il mio dubbio risiede qui per definizione: $lim_(n->oo) a_n = 0$ è

$forall z, forall epsilon>0 ∃N>0 : forall n>N => |a_n-0| ossia
$forall z, forall epsilon>0 ∃N>0 : forall n>N => |(s up_(zinS)|f_n(z)-f(z)|)-0|
cioé

$forall z, forall epsilon>0 ∃N>0 : forall n>N => s u p_(zinS)|f_n(z)-f(z)|
Ma qui non mi sembra andare molto a nozze con la convergenza uniforme perché ho un $forallz$ all'inizio della mia proposizione, e questo non è vero perché se seleziono uno z per cui non era lo z che rende vero $s up_(zinS)|f_n(z)-f(z)|
Quindi sembra falso che "se e solo se $lim_(n->oo) a_n = 0$.

non capisco cosa non capisco e chiedo una manina

[Studente Anonimo]

Ciao, mi limito a farti notare che una proposizione non può cominciare con $forall z$ e poi continuare con [tex]sup_{z \in S}[/tex], perché dopo $forall z$ l'elemento $z$ è fissato e non cambia, d'altra parte quel sup è invece definito dal fatto che $z$ è libero di variare.

Per fare un esempio più semplice, NON ha senso scrivere $forall n in NN$, [tex]inf_{n \in \mathbb{N}} (n+1) = 1[/tex].

Se una frase comincia con "$forall z$", da quel momento in poi $z$ è fissato e non cambia.

[wiski1]

Ciao, grazie.

In effetti immaginavo soggiacesse lì il busillis, infatti non capivo come far tornare le cose in quel punto e maldestramente le ho messe entrambe nello scritto (per non saper né neggere né scrivere). Condivido il tuo appunto quindi.

Però, mi piacerebbe chiederti: come diamine si "fa sparire" o il per ogni z o il sup_z, dato che io nella definizione di $a_n$ ho il sup e nella definizione di $lim n->oo$ ho intrnsecamente il per ogni... insomma li ho entrambi, io ho quindi brutalemnte messo assieme due cose discordati in effetti, però non capisco quele delle due e con quale ragionamento posso vedere di "tenere".

Mi aiuteresti? Ti ringrazio.

[Studente Anonimo]

Il "$forall z$" lo hai messo tu senza motivo, toglilo.

[otta96]

Ma non lo devi far sparire, il $AAz$ non ci doveva essere fin dall'inizio, perchè in un certo senso è incluso nel $\text{sup}$, infatti $\lim_(n->\infty) a_n=0$ lo espandi scrivendo $AA\epsilon>0,EEN\inNN,AAn>N;|a_n|<\epsilon$, che è $AA\epsilon>0,EEN\inNN,AAn>N;|\text{sup}_(zinS)|f_n(z)-f(z)||<\epsilon$, e a questo punto se proprio vuoi far comparire $AAz$, viene $AA\epsilon>0,EEN\inNN,AAn>N,AAz\inS;|f_n(z)-f(z)|<=\epsilon'<\epsilon$. Nota che comunque il $AAz$ è DOPO il $EEN$, tornando con la definizione di convergenza uniforme.

[gabriella127]

Secondo me per fare ordine wiski deve ripartire dalla definizione di convergenza uniforme e poi di lì dimostrare l'osservazione del professore che una successione di funzioni converge uniformemente se e solo se $lim_(n->oo) a_n = 0$. Mi sembra invece che sta mischiando le cose.
In sintesi: il $\forall z $ all'inizio va tolto come dicono Martino e otta96, mentre vanno messi i quantificatori al posto giusto, come suggerisce otta96.

"wiski":
il mio dubbio risiede qui per definizione: $ lim_(n->oo) a_n = 0 $ è

$ forall z, forall epsilon>0 ∃N>0 : forall n>N => |(s up_(zinS)|f_n(z)-f(z)|)-0|$

Ma qui non mi sembra andare molto a nozze con la convergenza uniforme perché ho un $ forallz $ all'inizio [...]

Il $\forall z$ nella definizione del limite lo fai sparire togliendolo e stop, è una normale definizione di limite.

Per quanto riguarda la convergenza uniforme, non si definisce mettendo $forall z$ davanti.
Nella convergenza uniforme i quantificatori non si usano così.

Il concetto di uniformità non si esprime mettendo $\forall z$ davanti, ma piuttosto mettendo $\forall z$ alla fine o comunque dopo il quantificatore $\forall\epsilon$ nella definizione di convergenza uniforme (mentre è il contrario nella definizione di convergenza puntuale).
Prendi la definizione di convergenza uniforme:

Una successione di funzioni $f_n: I \sub \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ converge uniformemente alla funzione $f: I \sub \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ se

$\forall \epsilon>0 \exists n_\epsilon \in \mathbb{N}$ tale che $|f_n-f(z)|<\epsilon \forall z\in I.$

Come vedi c'è quel $\forall z$ alla fine che dice che l' $n_\epsilon$ non dipende da $z$, ma vale per tutti i $z$.
Perciò uniforme.

Poi partendo dalla definizione si può dimostrare l'osservazione del professore che la successione di funzioni converge uniformemente se e solo se $lim_(n->oo) a_n = 0$. Ma il $\forall z$ davanti non c'entra.

[wiski1]

uhm credo di esser stato poco chiaro e me ne scuso , perché vedo che tutti avete pensato che sbagliassi l'ordine del per ogni zeta.

Il punto è che avevo messo "in testa" il "$forall z$" perché apparteneva nella mia idea (e nella osservazione del prof) a $lim_(n→∞)a_n=0$. Quindi al concetto di limite puntuale, non a 1uello uniforme.

Cioè io so che posso caratterizzare il limite uniforme con $lim_(n→∞)a_n=0$ (per l' an sopra definito);
a questo punto il mio ragionamento era stato io so che per una generdica serie di funzioni $f_n$ la scrittura $lim_(n→∞)f_n(x)=f(x)$ è una notazone per la convergenza puntuale in C sottinsieme del dominio A di f:A->R, cioè: $forall z, forall epsilon>0 ∃N>0 : forall n>N => |f_n-f(x)| D'altra parte $a_n:=a_n(z)$ è una serie di funzioni in un certo senso -dipendendo da z-, quindi $lim_(n→∞)a_n=0$ dovrebbe essere un limite puntuale, quindi: "per ogni zeta, per ogni epsilon ecc ecc.." .
Per questo scrivevo $lim_(n→∞)a_n(z)=0$ sse $forall z, forall epsilon>0 ∃N>0 : forall n>N => |a_n(x)|
In poche parole io il "per ogni z" ce lo piazzavo per indicare la putnualità di quel limite:

il mio dubbio risiede qui per definizione: $lim_(n->oo) a_n = 0$ è

$forall z, forall epsilon>0 ∃N>0 : forall n>N => |a_n-0| ossia
$forall z, forall epsilon>0 ∃N>0 : forall n>N => |(s up_(zinS)|f_n(z)-f(z)|)-0| non per l'uniformità


Mi sa però che come spesso accade nello spiegarmi per altri mi sono capito io, vediamo se condividete il mio errore (che credo di aver individuato): ero convinto che $a_n(z)$ fosse in funzone di z, ma non mi ero reso bene conto che sup_z era un numero quindi obv. $a_n$ è una successione di funzioni e quindi quel cavolo di $forall z $ non centrava "na mazza". Il mio ragionamento fallace era che sup_z è definito al variare di z (cioè ha una libertà di scelta di z) e poi trovo il valore sup, però ua volta deciso il sup è fisso.
In poche parole sono un asino, mi ero incastrato su sta cosa e non ne uscivo.

[Studente Anonimo]

Esatto, $a_n$ non dipende da $z$. Comunque $a_n$ è una successione di numeri, non di funzioni.

[wiski1]

Esatto, proprio quello, vedendoci lo z del sup_z mi ero incasinato e pensavo a una $a_n(z)$ e non a una successione di numeri, che azino.

Comunque vi ringrazio molto, ci sono arrivato potendo scrivere a voi (cioè avendo la possibilità di spiegare il dubbio ho colto l'errore), direi dubbio risolto

mercì