Credo di aver bisogno di un aiuto per figurarmi questo grafico
Avrei bisogno di una vostra mano per questa seconda domanda.
Svolgendo un esercizio mi trovo a dover fare il grafico di $f(x)=|sin4x|$ e $g(x)=4tgx$
Ho iniziato il grafico ma a un certo punto non riesco a procedere, vi spiego i dubbi:
il modulo mi "trasporta" il grafico del seno (che in questo caso in quanto moltiplicata ha periodicità di $pi/2$) nelle ardinate positive.
La tangente di per sé è moltiplicata per 4 quindi è sicuramente più rapida nella crescita.
Tuttavia il mio grafico intuitivo si ferma qui, non riesco a capire come determinare se si incontri o meno, quando f(x) sia maggiore di g(x) e viceversa.
Come potrei fare?
Vi ringrazio per le spiegazioni
Svolgendo un esercizio mi trovo a dover fare il grafico di $f(x)=|sin4x|$ e $g(x)=4tgx$
Ho iniziato il grafico ma a un certo punto non riesco a procedere, vi spiego i dubbi:
il modulo mi "trasporta" il grafico del seno (che in questo caso in quanto moltiplicata ha periodicità di $pi/2$) nelle ardinate positive.
La tangente di per sé è moltiplicata per 4 quindi è sicuramente più rapida nella crescita.
Tuttavia il mio grafico intuitivo si ferma qui, non riesco a capire come determinare se si incontri o meno, quando f(x) sia maggiore di g(x) e viceversa.
Come potrei fare?
Vi ringrazio per le spiegazioni
Risposte
Ciao mayo2,
Beh, la funzione $f(x) = |sin(4x)| $ si annulla per $4x = k\pi \implies x = (k\pi)/4 $, $k \in \ZZ $ mentre la funzione $ g(x) = 4 tan(x) $ si annulla per $x = m\pi $, $m \in \ZZ $ per cui le due funzioni $f(x) $ e $g(x) $ si intersecano nei punti in cui si annulla la funzione $g(x) $, cioè per $x = m\pi $, $m \in \ZZ $
Ecco il grafico delle due funzioni con l'aiuto di WolframAlpha:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7Csin(4x)%7C+%3D+4+tan(x)
Beh, la funzione $f(x) = |sin(4x)| $ si annulla per $4x = k\pi \implies x = (k\pi)/4 $, $k \in \ZZ $ mentre la funzione $ g(x) = 4 tan(x) $ si annulla per $x = m\pi $, $m \in \ZZ $ per cui le due funzioni $f(x) $ e $g(x) $ si intersecano nei punti in cui si annulla la funzione $g(x) $, cioè per $x = m\pi $, $m \in \ZZ $
Ecco il grafico delle due funzioni con l'aiuto di WolframAlpha:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7Csin(4x)%7C+%3D+4+tan(x)
Ti ringrazio per l'aiutone, diciamo che l'origine avevo capito fosse un punto di intersezione (a intuito), però non capisco come affermare con sicurezza senza guardare da software grafico che sicuramente non di intersecheranno altrove.
"mayo2":
Ti ringrazio per l'aiutone, diciamo che l'origine avevo capito fosse un punto di intersezione (a intuito), però non capisco come affermare con sicurezza senza guardare da software grafico che sicuramente non di intersecheranno altrove.
Intuitivamente parlando e sapendo che i due grafici si intersecano in 0, se la derivata (pendenza) di f(x) è maggiore o uguale di g(x) calcolata in 0, ovvero $f'(0)>=g'(0)$ e il punto di flesso (cambio concavità) di g(x) ristretta ad un intervallo del tipo $(-pi /2,pi/2)$ è maggiore di 1 (maggiorante del max della funzione seno nello stesso intervallo), allora direi che i due grafici si intersecano solo nello stesso punto, almeno in un intorno di 0 ragionevolmente piccolo. Se poi consideriamo le funzioni seno e tangente, potrei dire forse che questo intorno possiamo espanderlo.
Interessante spunto. Grazie!
E per punti distanti da 0 invece? Da quanto ho capitoil tuo metodo informa sul fatto che le due fuznioni non si sovrappongano, ma chi mi dice che proseguendo per x crescenti non si reintersechino?
Sempre se ho ben compreso.
Grazie ancora
E per punti distanti da 0 invece? Da quanto ho capitoil tuo metodo informa sul fatto che le due fuznioni non si sovrappongano, ma chi mi dice che proseguendo per x crescenti non si reintersechino?
Sempre se ho ben compreso.
Grazie ancora
"mayo2":
chi mi dice che proseguendo per x crescenti non si reintersechino?
Perché si tratta di funzioni periodiche, il loro comportamento si replica sempre uguale...
Sono proprio scarso perché non risco a vedere qualcosa per voi ovvio, il fato che voglio a tutti i costi capire. Scusatemi per la testardaggine, vi prego!
Per la periodicità ok, io parlavo di una intersezione prima che si ripeta. A zero la vedo banalmente, ma non capisco come vedere su tratti diversi da zero e maggio dell'intorno consigliato da james nei quali escludo una sovrapposizione.
per quel che ne so dopo un tratto maggiore potrebe ridiscendere e intersecarsi con l'altra funzione.
Non risco proprio a vederlo
Per la periodicità ok, io parlavo di una intersezione prima che si ripeta. A zero la vedo banalmente, ma non capisco come vedere su tratti diversi da zero e maggio dell'intorno consigliato da james nei quali escludo una sovrapposizione.
per quel che ne so dopo un tratto maggiore potrebe ridiscendere e intersecarsi con l'altra funzione.
Non risco proprio a vederlo
"mayo2":
Sono proprio scarso perché non risco a vedere qualcosa per voi ovvio, il fato che voglio a tutti i costi capire. Scusatemi per la testardaggine, vi prego!in
Per la periodicità ok, io parlavo di una intersezione prima che si ripeta. A zero la vedo banalmente, ma non capisco come vedere su tratti diversi da zero e maggio dell'intorno consigliato da james nei quali escludo una sovrapposizione.
per quel che ne so dopo un tratto maggiore potrebe ridiscendere e intersecarsi con l'altra funzione.
Non risco proprio a vederlo
Non hai nulla di cui scusarti, anzi fai bene a chiedere.
La tangente "di solito" ha un solo flesso nella sua parte positiva, che le permette di andare a $+oo$ per $x->pi/2$, sempre restando nella restrizione in cui $x in (-pi/2,pi/2)$ .
Ora se il flesso sta sopra il valore 1, allora ci sono buone possibilità che tutto il grafico stia sopra il seno, perché questo arriva al massimo ad assumere valore 1. Poiché dal flesso la tangente "impazzisce" all'infinito, resta da guardare il caso x < del punto di flesso $c$ fino a 0 (questo perché il $|senx|$ per $y<0$ non esiste e per $ x in [c,pi/2)$ sta certamente sopra). Se guardiamo la derivata del seno come pendenza, al crescere di x sappiamo che questa decresce molto più rapidamente di quella dalla tangente e quindi il grafico del seno si allontana sempre di più da quello della tangente. Tutto questo si applica in questo caso, mentre l'idea generale della pendenza sia indicativa di una intersezione futura in un intorno di $x=(x-vartheta ,x+vartheta )$ per $vartheta ->0$ è abbastanza vera, ma varia da caso a caso.
Ora mi è tutto chiaro e ho capito cosa intendevi anche nel precedente messaggio.
Non avevo capito di sfruttare il flesso.
Grazie mille davvero, sei gentilissimo
Non avevo capito di sfruttare il flesso.
Grazie mille davvero, sei gentilissimo
Tranquillo, sto studiando analisi pure io.
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