Covergenza serie

[liberatorimatteo]

Buonasera, sto cercando invano di determinare dì se questa serie è convergente o meno...

$\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n (n+sin(n))/(n^2+9)$

Non converge assolutamente quindi sto provando con il criterio di Leibniz ma non riesco a mostrare che

$a_n=(n+sin(n))/(n^2+9)$

è una successione decrescente.

Ho provato anche riscrivendola in questo modo e cercando di applicare il criterio di Dirichlet:

$\sum_{n=1}^{+\infty} sin(n)(-1)^n (n/(sin(n))+1)/(n^2+9)$

Ma anche qui non riesco a mostrare che

$b_n=(n/(sin(n))+1)/(n^2+9)$

è una successione decrescente.

In entrambi i casi ho provato sia con derivata (chiaramente orrenda quindi ho abbandonato subito questa strada) e conj la classica disuguaglianza $a_n>=a_(n+1)$

Come posso fare?

[spugna2]

Dato che $a_n$ è infinitesima, puoi riscrivere la serie come $sum_(k=1)^(+oo) (-a_(2k-1)+a_(2k))$, e con un po' di conti si vede che quest'ultima converge assolutamente:

$|(1-2k-sin(2k-1))/(4k^2-4k+10)+(2k+sin(2k))/(4k^2+9)|<=|(1-2k)/(4k^2+4k+10)+(2k)/(4k^2+9)|+1/(4k^2-4k+10)+1/(4k^2+9)<=C/k^2$

[liberatorimatteo]

$

"spugna":Dato che $a_n$ è infinitesima, puoi riscrivere la serie come $sum_(k=1)^(+oo) (-a_(2k-1)+a_(2k))$, e con un po' di conti si vede che quest'ultima converge assolutamente:

$|(1-2k-sin(2k-1))/(4k^2-4k+10)+(2k+sin(2k))/(4k^2+9)|<=|(1-2k)/(4k^2+4k+10)+(2k)/(4k^2+9)|+1/(4k^2-4k+10)+1/(4k^2+9)<=C/k^2$

Mmmh ok! Grazie! Però mi pare strano che converga assolutamente... a me non viene convergente assolutamente:

$ \sum_{n=1}^{+\infty} |(-1)^n (n+sin(n))/(n^2+9)|=\sum_{n=1}^{+\infty} (n+sin(n))/(n^2+9)$

e si ha

$(n+sin(n))/(n^2+9) \text( asint. equiv. ) n/n^2=1/n$

che chiaramente è divergente

Comunque penso di aver risolto in questo modo:

$ \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n (n+sin(n))/(n^2+9) = \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n /(n+9/n) + \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n sin(n) 1/(n^2+9)$

$\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n /(n+9/n)$ converge per leibniz (chiaramente $1/(n+9/n)$ è decrescente)

$\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n sin(n) 1/(n^2+9)$ converge per dirichlet perchè $(-1)^n sin(n) $ è limitata in quanto

$ |\sum_{n=1}^{N} (-1)^n sin(n)|=|\sum_{n=1}^{N} Im((-1)^n(e^i)^n)|=|\sum_{n=1}^{N} Im((-e^i)^n)|=|Im((1-(-e^i)^((N+1)))/(1+e^i))|<=|(1-(-e^i)^((N+1)))/(1+e^i)|<=2/(|1+e^i|)$

e $1/(n^2+9)$ è decrescente

[spugna2]

Sul fatto che la serie "di partenza" non converga assolutamente siamo d'accordo, ma io mi riferivo a quella con i termini raggruppati a coppie, e non è una contraddizione. Pensa ad esempio a $1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+...$ (che è molto simile alla tua): scritta così non converge assolutamente, ma se la vedi come $(1-1/2)+(1/3-1/4)+(1/5-1/6)+...$ allora sì!

[liberatorimatteo]

OK ho capito, ma questo è possibile farlo?
Cioè... Non si tratta di riordinamento no?
Perché se io riordino una serie che non converge assolutamente allora potrei avere una serie che coverge ma ciò non mi dice nulla sulla serie di partenza (per il teorema di Riemann)

[spugna2]

Più che un riordinamento è un raggruppamento dei termini, altra cosa che in generale non si può fare, ma in questo caso sì: detta $S_n$ la somma dei primi $n$ termini della serie, quest'ultima è definita come $lim_(n->+oo) S_n$ (se esiste), mentre la serie con i termini raggruppati a coppie è $lim_(k->+oo) S_(2k)$. Chiaramente, se esiste il primo limite, esiste anche il secondo (è il limite di una sottosuccessione) e i limiti sono uguali; d'altra parte, se esiste il secondo, puoi scrivere $S_n={ (S_n, n \text{ pari}),(S_(n+1)-a_(n+1), n \text{ dispari}):}$, ed essendo $(a_n)$ infinitesima segue che $(S_n)$ ha lo stesso limite di $(S_(2k))$.

[liberatorimatteo]

Chiarissimo, grazie mille!