Covergenza di una serie

[gasx95]

Qualcuno mi aiuta con questa serie ?

Grazie in anticipo per le eventuali risposte :)

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Dunque, data la serie numerica

[math]\begin{aligned} \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{\sqrt{1 + n^2}}{n^a\,\sin\left(\frac{1}{n}\right)}\end{aligned}[/math]

con

[math]a \in \mathbb{R}[/math]

,
(bada bene che tale serie non può partire da zero in quanto ivi non
è definita, si tratta sicuramente di un refuso) trattandosi di una serie
a termini non negativi possiamo usufruire del criterio di convergenza
del confronto asintotico. In particolare, si nota che per

[math]n \to +\infty[/math]

si
ha

[math]\frac{\sqrt{1 + n^2}}{n^a\,\sin\left(\frac{1}{n}\right)} \sim \frac{n}{n^a\,\frac{1}{n}} = \frac{1}{n^{a - 2}}[/math]

e quindi tale serie converge se e
soltanto se

[math]a - 2 > 1 \; \Leftrightarrow \; \alpha > 3[/math]

. Fine. ;)

[gasx95]

Grazie mille :D