Costruzione potenza reale come estremo superiore

[dattolico_007]

Salve a tutti ho difficoltà nel comprendere la struttura della seguente dimostrazione.
Il teorema dice:
Sia $a \in R,a>0,a!=1$. Sia $x\in R$. Allora:
- $a>1 rArr Sup{a^(q') : q' \in Q, q' - $0 Lo scopo è quello di dimostrare che i due insiemi $X={a^(q') : q' \in Q, q' Dimostrazione
Per $a>1$
Si dimostra che entrambi sono non vuoti e separati così da poter applicare una caratterizzazione sugli insiemi contigui per cui se $SupX=InfY$ allora $X$ e $Y$ sono contigui.
Dopo aver dimostrato che sono separati e per comodità posto $alpha=SupX$ e $beta=InfY$ dice che $alpha<=beta$ e perché siano contigui deve essere vero che $alpha=beta$. Suppone per assurdo che $alpha Dato che $R$ è totalmente ordinato si ha che $qx$ o $q=x$.
Tutto chiaro tranne il caso in cui $q=x$. Credo che un elemento simile non appartenga a nessuno dei due insiemi e che quindi ora dovrei dimostrare che effettivamente un elemento così non esiste per poter cadere in contraddizione. Giusto?
Però la dimostrazione segue non tenendo per nulla in considerazione questo. E anzi credo affermi che $q=x$ assurdo e quindi a parer mio dovrebbe fermarsi qui la dimostrazione. Perché un numero $q$ che non è né maggiore, né uguale, né minore, non esiste.
Continua così:
Dato che $alphaa$.
Sia $m$ il massimo intero relativo t.c. $a^m<= alpha^n$. Definisce un insieme $C={m \in Z: a^m<=a^n}$. Dimostra che è non vuoto così come l'insieme dei suoi maggioranti. Quindi esiste il $maxC=m$.
Pertanto si ha $alpha^n Non capisco dove sia l'assurdo.
Vi ringrazio anticipatamente per il vostro aiuto

[Quinzio]

La contraddizione sta nel fatto che se $\alpha < a^q < \beta$ allora (almeno) una di queste due affermazioni non e' vera:
1) $\alpha$ e' il sup di $X$
2) $\beta$ e' l'inf di $Y$
Se (almeno) una delle due non vera, e' una contraddizione.
Ero partito con l'assunzione che $\alpha$ era il sup di $X$ e $\beta$ era l'inf di $Y$ quindi le affermazioni 1) e 2) erano vere, ma ho trovato che una delle due e' falsa. Quindi ho una contraddizione.

Una delle due e' falsa perche' (secondo le assunzioni di partenza) $a^q$ appartiene o a $X$ o a $Y$.
Se $a^q$ appartiene ad $X$ allora $\alpha$ non e' il sup di $X$ perche' $a^q$ gli appartiene, ma e' maggiore del sup.
Ragionamento analogo per $\beta$.
Se $a^q$ appartiene ad $Y$ allora $\beta$ non e' l'inf di $Y$ perche' $a^q$ gli appartiene, ma e' minore dell'inf.


In altre parole. Se $\alpha$ e $\beta$ sono diversi, posso farti vedere che c'e' un numero $a^q$ che si "intrufola" tra i due.
Ma in realta' quel numero $a^q$ doveva essere fuori dall'intervallo $[\alpha, \beta]$, non si capisce cosa faccia in mezzo ai due.
Quindi ho una contraddizione.
In realta' gli $a^q$ che si intrufolano sono tanti, infiniti, ma a me basta focalizzarmi su uno per dimostrare l'assurdo.

Ora dovrebbe essere piu' chiaro.

[dattolico_007]

err

[dattolico_007]

Ah ok forse mi è chiaro.
Mi sta dicendo che sia che $xq$ otterrò una contraddizione perché in entrambi i casi trovo elementi che maggiorano o minorano gli estremi. Continuando con la dimostrazione arriva a concludere che questo numero che non dovrebbe esistere (perlomeno li in mezzo), invece esiste e questo è un assurdo perché vuol dire che o maggiora l'estremo superiore o minora l'estremo inferiore. Giusto?

Non sono certo però della conclusione. Abbiamo dimostrato che supX=infY. Perché questo elemento è $a^x$ ? Perché è proprio il caso in cui x=q? L'unico elemento che resta fuori dai due insiemi? I due estremi non sono rispettivamente massimo e minimo quindi non appartengono all'insieme. Ho trovato un elemento di separazione e quell'elemento è proprio $a^q=a^x$ ?

[Quinzio]

"paolo1712":
L'altra possibilità che resta è $x=q$ ma non ho capito cosa accade in questo caso.

Non accade nulla di speciale. Nulla che sia rilevante ai fini della dimostrazione. L'hanno scritto per essere completamente espliciti, per dire tutto quello che si poteva dire e non lasciare nulla di non detto. Ma non e' rilevante, si poteva anche tralasciare non aggiunge nulla di utile. Pero' finche' c'erano potevano chiarire del tutto la situazione. Ovvero:
- Se $q - Se $q>x$ allora $a^q \in Y$
- Se $q=x$ allora e' vero sia che $a^q \in X$ e che $a^q \in Y$.

So che l'ultimo caso ti lascera' perplesso, ma se ci pensi e' cosi.

Poi se già ottengo un assurdo che si è creato supponendo $alpha

Anche in questo caso la dimostrazione continua per fornire la prova esplicita che questo $q$ esiste, lo si puo' calcolare e soprattutto che $q$ e' razionale.
Ti hanno voluto dare la prova definitiva che questo $q$ esiste e ti hanno anche dato il modo di calcolarlo, ovvero $q = (m+1)/n$.
Il prof. poteva chiudere la dimostrazione senza l'ultima parte, ma giustamente qualcuno poteva essere scettico e dire: caro prof., mi hai quasi convinto ma io non ci credo del tutto, quindi fammi vedere in modo esplicito che $q$ esiste, fammi vedere esplicitamente come lo posso calcolare, e soprattutto fammi vedere coi miei occhi che $q$ e' razionale.
Ed ecco che arriva l'ultima parte.

Ok ?

[dattolico_007]

Perdonami, ho "eliminato" il messaggio perché ero giunto ad un'altra conclusione che ho scritto subito dopo. Spero di non aver incasinato il tutto

[Quinzio]

Non c'e' problema per il messaggio eliminato.

"paolo1712":Ah ok forse mi è chiaro.
Mi sta dicendo che sia che $xq$ otterrò una contraddizione perché in entrambi i casi trovo elementi che maggiorano o minorano gli estremi. Continuando con la dimostrazione arriva a concludere che questo numero che non dovrebbe esistere (perlomeno li in mezzo), invece esiste e questo è un assurdo perché vuol dire che o maggiora l'estremo superiore o minora l'estremo inferiore. Giusto?

Si ok.

Non sono certo però della conclusione. Abbiamo dimostrato che supX=infY.

Ok

Perché questo elemento è $a^x$ ?

Eh, il perche' e' proprio tutto quello che la dimostrazione del teorema ha cercato di spiegarti.
Tutta la dimostrazione serve per dirti proprio questo, che la potenza reale si puo' costruire come estremo superiore.
Ma forse non ho capito la domanda.

Perché è proprio il caso in cui x=q? L'unico elemento che resta fuori dai due insiemi?

No, allora qui ti stai perdendo di nuovo.
Il caso $q=x$ appartiene alla dimostrazione per assurdo.
Ma proprio siccome e' una dimostrazione per assurdo, va letta e capita, ma poi va gettata via, proprio perche' era partita da una falsita' ovvero che $\alpha < \beta$. La dimostrazione per assurdo e' farlocca, e' bacata, e' falsa.

Nel teorema vero, quello originale, solido, sano, non c'e' nessun $q$.
Ovvero, se proprio vuoi un $q$ c'e', ed e' uguale a $x$ ovvero $q=x$, ma a che serve dirlo ? Di che utilita' e' ?
Poi c'e' anche una sottigliezza di cui tenere conto: non e' detto che $x$ sia razionale, potrebbe anche essere non razionale, quindi per principio non c'e' nessun razionale $q \in Q$ tale che $q=x$.
Questa e' una finezza, ma ti dice ulteriormente che non importa nulla che $q=x$.

I due estremi non sono rispettivamente massimo e minimo quindi non appartengono all'insieme. Ho trovato un elemento di separazione e quell'elemento è proprio $a^q=a^x$ ?

No, qui fai anche confusione nei termini. L'estremo di un insieme deve appartenere all'insieme. Il sup e l'inf possono anche non appartenere all'insieme.
Inoltre $a^x$ puo' anche non appartenere a nessuno dei due insiemi.
Qui secondo me ti sei perso perche' non hai ancora chiara al 100% la situazione.

[Quinzio]

Ho trovato un elemento di separazione e quell'elemento è proprio $a^q=a^x$ ?

Ad esempio, fai attenzione qui.
L'elemento di separazione $a^x$ non lo trovi. Nel senso che non lo vai a cercare e lo trovi. Non lo devi cercare e quindi lo trovi. Ce l'hai gia' dall'inizio.

Guarda l'inizio del teorema.
Sia $ a \in R,a>0,a!=1 $. Sia $ x\in R $.
$a^x$ ce l'hai gia'. $a$ ce l'hai $x$ ce l'hai gia'. Non devi trovare nulla.

Ok ?

[dattolico_007]

Credo di aver capito.
Quindi all'inizio, semplicemente costruisco due insiemi ad hoc, di modo che siano contigui e $a^x$ sia l'unico elemento di separazione e mi limito a dimostrare che supX=infY.
Ti ringrazio @Quinzio!