Costruzione Misura di Lebesgue
Salve a tutti,
premetto che ho studiato la teoria dell' integrazione astratta sulla riga del capitolo di "Analisi Reale e Complessa" W. Rudin più alcuni teoremi sulla costruzione di misure, misure esterne... tra cui il teorema di caratheodory.
A questo punto la Costruzione della Misura di Lebesgue fatta da wikipedia mi sembra sensata http://it.wikipedia.org/wiki/Misura_di_Lebesgue
Il mio problema è che il mio prof. la definisce in un modo che non mi è chiaro:
Una volta definita nel modo ovvio la misura di intervalli,
parte dal definire la misura per gli aperti come $\mu(A)=Sup{\sum_j \mu(I_j) \ | \ A\subset\bigcup_j I_j}$ dove $I_j$ sono intervalli
poi definisce la misura per i compatti $\mu(K)=Inf{\mu(A)\ |\ A\supsetK}$ con A aperto
dopo di che definisce la misura esterna $\mu_e(E)=Inf{\mu(A)\ |\ A\supsetE}
e la misura interna $\mu_i(E)=Sup{\mu(K)\ |\ K\subsetE}$
E è misurabile se $\mu_e(E)=\mu_i(E)$ e si definisce la misura di Lebesgue.
Ho difficoltà a collegare queste affermazioni e definizioni con la teoria astratta che ho studiato... Non si dovrebbe definire la misura di Lebesgue controllando che è una MISURA nel senso della teoria della misura su sigma algebre? Che c'entrano queste misure esterne e interne?
Vi ringrazio per possibili illuminazioni
premetto che ho studiato la teoria dell' integrazione astratta sulla riga del capitolo di "Analisi Reale e Complessa" W. Rudin più alcuni teoremi sulla costruzione di misure, misure esterne... tra cui il teorema di caratheodory.
A questo punto la Costruzione della Misura di Lebesgue fatta da wikipedia mi sembra sensata http://it.wikipedia.org/wiki/Misura_di_Lebesgue
Il mio problema è che il mio prof. la definisce in un modo che non mi è chiaro:
Una volta definita nel modo ovvio la misura di intervalli,
parte dal definire la misura per gli aperti come $\mu(A)=Sup{\sum_j \mu(I_j) \ | \ A\subset\bigcup_j I_j}$ dove $I_j$ sono intervalli
poi definisce la misura per i compatti $\mu(K)=Inf{\mu(A)\ |\ A\supsetK}$ con A aperto
dopo di che definisce la misura esterna $\mu_e(E)=Inf{\mu(A)\ |\ A\supsetE}
e la misura interna $\mu_i(E)=Sup{\mu(K)\ |\ K\subsetE}$
E è misurabile se $\mu_e(E)=\mu_i(E)$ e si definisce la misura di Lebesgue.
Ho difficoltà a collegare queste affermazioni e definizioni con la teoria astratta che ho studiato... Non si dovrebbe definire la misura di Lebesgue controllando che è una MISURA nel senso della teoria della misura su sigma algebre? Che c'entrano queste misure esterne e interne?
Vi ringrazio per possibili illuminazioni
Risposte
Quella che fa il tuo prof. è la costruzione "artigianale" della misura di Lebesgue, contrapposta a quella "industriale" fatta da Rudin (che usa il Teorema di rappresentazione di Riesz, se non erro).
Chiaramente, quando procedi nel modo che hai raccontato (ossia secondo la sequenza: intervalli - pluriintervalli - aperti limitati - compatti - insiemi limitati - insiemi qualsiasi) ottiemi una funzione $m$ che chiami misura di Lebesgue ed è definita su una certa sottoclasse $\mathcal{L}$ di $P(RR)$; l'ultimo passo è proprio quello di dimostrare che $\mathcal{L}$ è una $sigma$-algebra e che $m$ è una misura nel senso della definizione data nel primo capitolo del Rudin.
Probabilmente per ragioni di tempo questa verifica è stata saltata o e passata un po' sotto silenzio, però a rigor di logica va fatta.
Chiaramente, quando procedi nel modo che hai raccontato (ossia secondo la sequenza: intervalli - pluriintervalli - aperti limitati - compatti - insiemi limitati - insiemi qualsiasi) ottiemi una funzione $m$ che chiami misura di Lebesgue ed è definita su una certa sottoclasse $\mathcal{L}$ di $P(RR)$; l'ultimo passo è proprio quello di dimostrare che $\mathcal{L}$ è una $sigma$-algebra e che $m$ è una misura nel senso della definizione data nel primo capitolo del Rudin.
Probabilmente per ragioni di tempo questa verifica è stata saltata o e passata un po' sotto silenzio, però a rigor di logica va fatta.
ah ok quindi mi stai dicendo che
L'insieme degli $E\subsetX$ tc $m(E)=\mu_e(E)=\mu_i(E)$ è una sigma algebra e $m$ è una Misura su tale insieme.
Mentre non lo sarebbe in generale (sigma algebra) $\mu_e$ sull'insieme delle parti di X.
Vero?
Potresti semmai indicarmi una fonte che faccia una dimostrazione di ciò? Non ho molto tempo per leggere roba a giro. Ti ringrazio
L'insieme degli $E\subsetX$ tc $m(E)=\mu_e(E)=\mu_i(E)$ è una sigma algebra e $m$ è una Misura su tale insieme.
Mentre non lo sarebbe in generale (sigma algebra) $\mu_e$ sull'insieme delle parti di X.
Vero?
Potresti semmai indicarmi una fonte che faccia una dimostrazione di ciò? Non ho molto tempo per leggere roba a giro. Ti ringrazio
Passato quest'altro esame proverò a farlo a mano... non so forse è più banale di quello che sembra?
Un "up" con stile, devo riconoscerlo... 
Ad ogni modo, il fatto è che al momento non mi vengono in mente riferimenti "sicuri" (a suo tempo queste cose le ho studiate sulle dispense della prof.); inoltre la costruzione della misura di Lebesgue può esser fatta anche in altri modi (ad esempio, coi teoremi di estensione oppure usando la sola misura esterna), quindi ho paura di confondermi ulteriormente.
Un libro in cui si usano teoremi di estensione è sicuramente Halmos, Measure Theory.
Un libro dove si usa solo la misura esterna è Wheeden-Zygmund, Measure and Integral.
Potresti provare su Folland, Real Analysis, oppure su qualche altro testo di Analisi Reale e Teoria della Misura... Mi devi scusare, ma al momento non so essere più preciso.
Ad ogni modo, il fatto è che al momento non mi vengono in mente riferimenti "sicuri" (a suo tempo queste cose le ho studiate sulle dispense della prof.); inoltre la costruzione della misura di Lebesgue può esser fatta anche in altri modi (ad esempio, coi teoremi di estensione oppure usando la sola misura esterna), quindi ho paura di confondermi ulteriormente.
Un libro in cui si usano teoremi di estensione è sicuramente Halmos, Measure Theory.
Un libro dove si usa solo la misura esterna è Wheeden-Zygmund, Measure and Integral.
Potresti provare su Folland, Real Analysis, oppure su qualche altro testo di Analisi Reale e Teoria della Misura... Mi devi scusare, ma al momento non so essere più preciso.
Visto comunque che ti è stato proposta la misura di Lebesgue con le definizioni di misura interna - misura esterna (è l'impostazione data dallo stesso Lebesgue o sbaglio?), un'occhiatina al Giusti vecchia edizione (se già non lo usi) o a testi simili, io gliela darei... giusto per avere anche dei riferimenti semplici... Anche perchè mi sembra tra l'altro che il concetto di misurabilità da te citato valga se la misura è finita, poi si estende il concetto di misurabilità a insiemi con misura infinita. Quindi chiarirsi le idee è d'obbligo... Se non hai scritto questa osservazione per brevità, invece, scusami.
Vabbè, comunque sulla misura di Lebesgue ci sono tonnellate di riferimenti, pure italiani...
Scusate l'intromissione.
Vabbè, comunque sulla misura di Lebesgue ci sono tonnellate di riferimenti, pure italiani...
Scusate l'intromissione.
"Gugo82":
Un "up" con stile, devo riconoscerlo...
Vi ringrazio entrambi per l'aiuto! Darò un'occhiata ai libri che mi avete indicato, iniziando dal Giusti che se tratta la cosa ad un livello soddisfacente me la cavo con meno dispendio di energie!
Giusti "Analisi 2"?
"amel":
Anche perchè mi sembra tra l'altro che il concetto di misurabilità da te citato valga se la misura è finita
che intendi?
Ciao!
Intendevo dire che più precisamente di
andrebbe detto
E è misurabile se $\mu_e(E)=\mu_i(E)<+oo$ (1)
poi infine la definizione generale di insieme misurabile anche per insiemi misurabili di misura non finita:
E è misurabile se $\forall r>0$, $E \nn B(0,r)$ è misurabile, cioè $\mu_e(E \nn B(0,r))=\mu_i(E \nn B(0,r))$ ($B(0,r)$ sfera di centro 0 e raggio $r$). (2)
C'è un'osservazione sul Giusti (sì, Analisi 2) che sottolinea come la definizione 2 non è una complicazione rispetto a dire semplicemente "E è misurabile se $\mu_e(E)=\mu_i(E)$" perchè altrimenti verrebbe meno il fatto che gli insiemi Lebesgue misurabili costituiscano una sigma-algebra. Per questo spesso, anche quando non si hanno nozioni di base di analisi funzionale, si introduce la misurabilità secondo il punto di vista di Caratheodory (usando solo la misura esterna), per evitare questa doppia definizione. Correggetemi se sbaglio.
Ciao.
"Fox":
E è misurabile se $\mu_e(E)=\mu_i(E)$
andrebbe detto
E è misurabile se $\mu_e(E)=\mu_i(E)<+oo$ (1)
poi infine la definizione generale di insieme misurabile anche per insiemi misurabili di misura non finita:
E è misurabile se $\forall r>0$, $E \nn B(0,r)$ è misurabile, cioè $\mu_e(E \nn B(0,r))=\mu_i(E \nn B(0,r))$ ($B(0,r)$ sfera di centro 0 e raggio $r$). (2)
C'è un'osservazione sul Giusti (sì, Analisi 2) che sottolinea come la definizione 2 non è una complicazione rispetto a dire semplicemente "E è misurabile se $\mu_e(E)=\mu_i(E)$" perchè altrimenti verrebbe meno il fatto che gli insiemi Lebesgue misurabili costituiscano una sigma-algebra. Per questo spesso, anche quando non si hanno nozioni di base di analisi funzionale, si introduce la misurabilità secondo il punto di vista di Caratheodory (usando solo la misura esterna), per evitare questa doppia definizione. Correggetemi se sbaglio.
Ciao.
Ah ok si si le definizioni esatte sono quelle... ho capito cosa intendevi,
è perchè cè chi definisce $\mu$ misura finita su uno spazio $X$ se $\mu(X)<+\infty$ allora non capivo...
bene, grazie
Ciao!
è perchè cè chi definisce $\mu$ misura finita su uno spazio $X$ se $\mu(X)<+\infty$ allora non capivo...
bene, grazie
Ciao!
ok, causa altri esami non mi sono ancora preso la briga di andare a consultare i libri che mi avete indicato. Lo farò Lunedì.
Però proprio non riesco a capire la necessità della definizione di misura di aperti e di chiusi... Mi spiego:
Sia $X$ lo spazio in cui si lavora e $P(X)$ l'insieme delle parti di $X$
una volta definita ad esempio solamente la misura degli aperti si può notare che essa è una Premisura definita su $O$ che è l'insieme di tutti gli aperti di $X$
$\forall E\inP(X)$ posso definire $\mu_e(E)=Inf{\mu(A) \ \ |\ \ A\inO\ ,\ A\supsetE}$
Questa si può dimostrare essere una misura esterna; quindi per il teorema di caratheodory tutti gli insiemi $E\ \ tc\ \ \mu_e(A)=\mu_e(A\capE)+\mu_e(A\capE^c)\ \forall A\subsetX$, cioè l'insieme degli $E$ $\mu_e$-misurabili formano una $\sigma-alg ebra \ \ S$ e $\mu=\mu_e|_S$ è una MISURA su $S$
Per un altro teorema (di cui ora non ricordo il nome ma confido che mi capiate...) ogni $A\inO$ è $\mu_e$-misurabile $=>$ $S\supsetO$, ma allora ne segue che $S\supset\sigma(O)$ perchè $S$ è una sigma-algebra e include perciò la sigma-algebra generata da $O$ cioè l'insieme dei Boreliani di $X$.
Ma allora a che serve definire la misura dei compatti e dire che è misurabile quando è regolare? Forse che gli insiemi misurabili secondo lebesgue sono più numerosi dei Boreliani?
Però proprio non riesco a capire la necessità della definizione di misura di aperti e di chiusi... Mi spiego:
Sia $X$ lo spazio in cui si lavora e $P(X)$ l'insieme delle parti di $X$
una volta definita ad esempio solamente la misura degli aperti si può notare che essa è una Premisura definita su $O$ che è l'insieme di tutti gli aperti di $X$
$\forall E\inP(X)$ posso definire $\mu_e(E)=Inf{\mu(A) \ \ |\ \ A\inO\ ,\ A\supsetE}$
Questa si può dimostrare essere una misura esterna; quindi per il teorema di caratheodory tutti gli insiemi $E\ \ tc\ \ \mu_e(A)=\mu_e(A\capE)+\mu_e(A\capE^c)\ \forall A\subsetX$, cioè l'insieme degli $E$ $\mu_e$-misurabili formano una $\sigma-alg ebra \ \ S$ e $\mu=\mu_e|_S$ è una MISURA su $S$
Per un altro teorema (di cui ora non ricordo il nome ma confido che mi capiate...) ogni $A\inO$ è $\mu_e$-misurabile $=>$ $S\supsetO$, ma allora ne segue che $S\supset\sigma(O)$ perchè $S$ è una sigma-algebra e include perciò la sigma-algebra generata da $O$ cioè l'insieme dei Boreliani di $X$.
Ma allora a che serve definire la misura dei compatti e dire che è misurabile quando è regolare? Forse che gli insiemi misurabili secondo lebesgue sono più numerosi dei Boreliani?
"Fox":
Forse che gli insiemi misurabili secondo lebesgue sono più numerosi dei Boreliani?
Sì, sono più numerosi. Mi pare che i Boreliani abbiano la potenza del continuo e i misurabili la potenza di $P(RR)$ (insieme delle parti di $RR$).
ok, allora ho trovato un pò di tempo e mi pare di essere sulla strada giusta...
Sul Giusti non ho trovato nulla, schiva la cosa definendo l'integrale di lebesgue senza parlare di teoria della misura, ma tirando in ballo approssimazioni dall' alto e dal basso con funzioni semicontinue eccetera. Che non mi sono neanche messo a cercare di capire. Magari ho preso una versione sbagliata del libro in cui ha dato un taglio diverso alla teoria (è la terza edizione, del 2003).
Halmos, Measure Theory la fa troppo difficile, parla di anelli, sigma anelli poi tira in ballo altre cose che non conosco e non ho tempo per studiare così tante cose...
Infine sono arrivato a Folland, Real Analysis sul quale ho trovato una frase che secondo me è la chiave di quello che stavo cercando.
E unendo il tutto con la definizione di misura interna di Kolmogorov Fomin, Analisi Reale, credo di esserci.
Ci sono due punti da risolvere adesso:
punto (a)
$\mu_i(E)=\mu(X)-\mu_e(E^c)$ dove $X$ è lo spazio e $E^c$ significa complementare di $E$ e $\mu$ è la premisura che induce la misura esterna
questa è la conclusione alla quale dovrei arrivare a partire dalle definizioni date in questo topic
(a) $\mu_i(E)=Sup{\mu(K)\ |\ K\subsetE}=Sup{\mu(A^c)\ |\ A\supsetE}=Sup{\mu(X-A)\ |\ A\supsetE}
come si va avanti da qui? non posso mica separare $\mu(X-A)$ in $\mu(X)-\mu(A)$ o per qualche motivo si?
E l'altro punto lo dico dopo sennò diventa troppo pesante
Sul Giusti non ho trovato nulla, schiva la cosa definendo l'integrale di lebesgue senza parlare di teoria della misura, ma tirando in ballo approssimazioni dall' alto e dal basso con funzioni semicontinue eccetera. Che non mi sono neanche messo a cercare di capire. Magari ho preso una versione sbagliata del libro in cui ha dato un taglio diverso alla teoria (è la terza edizione, del 2003).
Halmos, Measure Theory la fa troppo difficile, parla di anelli, sigma anelli poi tira in ballo altre cose che non conosco e non ho tempo per studiare così tante cose...
Infine sono arrivato a Folland, Real Analysis sul quale ho trovato una frase che secondo me è la chiave di quello che stavo cercando.
E unendo il tutto con la definizione di misura interna di Kolmogorov Fomin, Analisi Reale, credo di esserci.
Ci sono due punti da risolvere adesso:
punto (a)
$\mu_i(E)=\mu(X)-\mu_e(E^c)$ dove $X$ è lo spazio e $E^c$ significa complementare di $E$ e $\mu$ è la premisura che induce la misura esterna
questa è la conclusione alla quale dovrei arrivare a partire dalle definizioni date in questo topic
(a) $\mu_i(E)=Sup{\mu(K)\ |\ K\subsetE}=Sup{\mu(A^c)\ |\ A\supsetE}=Sup{\mu(X-A)\ |\ A\supsetE}
come si va avanti da qui? non posso mica separare $\mu(X-A)$ in $\mu(X)-\mu(A)$ o per qualche motivo si?
E l'altro punto lo dico dopo sennò diventa troppo pesante
Non ho letto con la dovuta attenzione i dettagli del thread, ma di fronte alla domanda
la risposta e' SI. Tutti gli insiemi di misura esterna nulla sono misurabili. ma tali insiemi non sono necessariamente boreliani. Puoi dare un'occhiata a http://en.wikipedia.org/wiki/Null_set
"Fox":
Ma allora a che serve definire la misura dei compatti e dire che è misurabile quando è regolare? Forse che gli insiemi misurabili secondo lebesgue sono più numerosi dei Boreliani?
la risposta e' SI. Tutti gli insiemi di misura esterna nulla sono misurabili. ma tali insiemi non sono necessariamente boreliani. Puoi dare un'occhiata a http://en.wikipedia.org/wiki/Null_set
"Fox":
Sul Giusti non ho trovato nulla, schiva la cosa definendo l'integrale di lebesgue senza parlare di teoria della misura, ma tirando in ballo approssimazioni dall' alto e dal basso con funzioni semicontinue eccetera. Che non mi sono neanche messo a cercare di capire. Magari ho preso una versione sbagliata del libro in cui ha dato un taglio diverso alla teoria (è la terza edizione, del 2003).
Sì parlavo della seconda edizione, comunque, che è completamente diversa... scusa per averti fatto perdere del tempo.
@amel:
No, no figurati anzi, grazie per l'aiuto
facevo solo cronaca delle ricerche
Appena mi capita, e avrò di nuovo tempo per pensarci, allora dò un'occhiata a quello che dice nella seconda!
Intanto suggerimenti? Ho imboccato una strada giusta?
No, no figurati anzi, grazie per l'aiuto
facevo solo cronaca delle ricerche
Appena mi capita, e avrò di nuovo tempo per pensarci, allora dò un'occhiata a quello che dice nella seconda!
Intanto suggerimenti? Ho imboccato una strada giusta?
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