Costruzione integrale alla Riemann

[lozaio]

Ciao ragazzi,

stavo leggendo la costruzione dell'integrale alla Riemann su questo pdf https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwik5NeW_73nAhVvpYsKHaFjAu4QFjAAegQIBRAB&url=http%3A%2F%2Farturo.imati.cnr.it%2Fbrezzi%2Fmat1%2Fappunti%2FIntegrali%2Fintgen04.pdf&usg=AOvVaw3DGvi-dUKWP3mHAZEwFcSF

Vi sono due passaggi che non mi sono chiarissimi ossia dove dice:

1) importante notare che: il fatto che f sia limitata superiormente implica che Uf sia non vuoto

2)Presa allora una partizione Q che sia adattata a entrambe le funzioni a scala ℓ e u (Domanda: perch´e siamo sicuri di poterne trovare una?)

Credo di perdermi nel ragionamento e aver qualche lacuna.

[anto_zoolander]

Ciao

1) se f è superiormente limitata allora esiste almeno un $M >=0 $ per cui $ f(x) <= M forall x in [a, b] $
Quindi basta prendere la funzione $u(x) = M$ su $[a, b] $ che è a gradino

2) se $u$ è una funzione a gradino su un certo intervallo allora esisterà una suddivisione di tale intervallo su cui $u$ è costante a tratti. È chiaro che se ti metti ad aggiungere un insieme finito di punti dell'intervallo, a caso, alla suddivisione la funzione rimarrà ancora a gradino.
Seguendo questa idea basta prendere l'unione delle suddivisioni di due funzioni a gradino per ottenere una nuova suddivisione nel quale entrambe sono a gradino.

[lozaio]

Grazie ora è chiarissimo . Mi ero proprio perso in un bicchier d'acqua.

Molto gentile!