Costruzione di una funzione attraverso l'uso di un mollificatore
Salve a tutti,
dato \(\displaystyle \Omega \) un aperto limitato di \(\displaystyle \mathbb{R}^N \), dovrei costruire una funzione \(\displaystyle C_0^\infty(\Omega) \)che verifichi le seguenti proprietà:
1. \(\displaystyle u_0(x) \leq |s_0| \), con \(\displaystyle s_0 \neq 0 \)
2. \(\displaystyle u_0(x)=|s_0| \) per ogni \(\displaystyle x \in B=\left\{x \in \mathbb{R}^N : |x-x_0| \leq \sigma r_0 \right\} \), con \(\displaystyle \sigma \in (0,1) \) e \(\displaystyle x_0 \) un punto di \(\displaystyle \Omega \)
3. \(\displaystyle u_0(x)=0 \) per ogni \(\displaystyle x \in \Omega\setminus B_0 \), ove \(\displaystyle B_0=\left\{x \in \mathbb{R}^N : |x-x_0| \leq r_0\right\} \)
L'idea era di considerare la funzione caratteristica \(\displaystyle \chi_{B_0} \) e poi mollificarla, solo che non so come regolare il mollificatore in modo che all'interno di \(\displaystyle B \) non alteri il valore della funzione e in modo che la discesa a zero avvenga nella corona \(\displaystyle B_0\setminus B \).
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie in anticipo!
dato \(\displaystyle \Omega \) un aperto limitato di \(\displaystyle \mathbb{R}^N \), dovrei costruire una funzione \(\displaystyle C_0^\infty(\Omega) \)che verifichi le seguenti proprietà:
1. \(\displaystyle u_0(x) \leq |s_0| \), con \(\displaystyle s_0 \neq 0 \)
2. \(\displaystyle u_0(x)=|s_0| \) per ogni \(\displaystyle x \in B=\left\{x \in \mathbb{R}^N : |x-x_0| \leq \sigma r_0 \right\} \), con \(\displaystyle \sigma \in (0,1) \) e \(\displaystyle x_0 \) un punto di \(\displaystyle \Omega \)
3. \(\displaystyle u_0(x)=0 \) per ogni \(\displaystyle x \in \Omega\setminus B_0 \), ove \(\displaystyle B_0=\left\{x \in \mathbb{R}^N : |x-x_0| \leq r_0\right\} \)
L'idea era di considerare la funzione caratteristica \(\displaystyle \chi_{B_0} \) e poi mollificarla, solo che non so come regolare il mollificatore in modo che all'interno di \(\displaystyle B \) non alteri il valore della funzione e in modo che la discesa a zero avvenga nella corona \(\displaystyle B_0\setminus B \).
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie in anticipo!
Risposte
Se mollifichi direttamente \(\chi_{B_0}\) non potrai fare in modo che sia soddisfatta la terza condizione.
Ti conviene prendere \(r := (1+\sigma)r_0 /2\) (il raggio medio fra \(r_0\) e \(\sigma r_0\)), \(0 < \epsilon < (1-\sigma)r_0/2\), e mollificare \(\chi_{B_r(x_0)}\) usando il nucleo di convoluzione di raggio \(\epsilon\).
Ti conviene prendere \(r := (1+\sigma)r_0 /2\) (il raggio medio fra \(r_0\) e \(\sigma r_0\)), \(0 < \epsilon < (1-\sigma)r_0/2\), e mollificare \(\chi_{B_r(x_0)}\) usando il nucleo di convoluzione di raggio \(\epsilon\).
Grazie mille per l'aiuto, sei stato gentilissimo! 
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