Costruzione di un potenziale di una forma differenziale
Non riesco a capire bene il metodo della spezzata per costruire un potenziale di una forma differenziale. In particolare non riesco a capire perché nel calcolo dell'integrale curvilineo lungo il segmento orizzontale, al posto del vettore che rappresenta la derivata prima della curva (che in questo caso è il segmento orizzontale) si mette il vettore (1,0) e perché nel calcolo dell'integrale curvilineo lungo il segmento verticale, al posto del vettore che rappresenta la derivata prima della curva (che in questo caso è il segmento verticale) si mette il vettore (0,1).
Ho poi altri dubbi riguardanti un altro metodo di costruzione del potenziale: quello mediante cui si calcola l'integrale curvilineo della forma differenziale lungo la curva "diretta" (non spezzata, per intenderci). Perché calcoliamo l'integrale tra 0 e 1? La scelta è arbitraria? E come scelgo il punto che considero come primo estremo della curva? Posso scegliere un qualsiasi punto dell'insieme aperto su cui è definita la forma differenziale?
Grazie!
Ho poi altri dubbi riguardanti un altro metodo di costruzione del potenziale: quello mediante cui si calcola l'integrale curvilineo della forma differenziale lungo la curva "diretta" (non spezzata, per intenderci). Perché calcoliamo l'integrale tra 0 e 1? La scelta è arbitraria? E come scelgo il punto che considero come primo estremo della curva? Posso scegliere un qualsiasi punto dell'insieme aperto su cui è definita la forma differenziale?
Grazie!
Risposte
Benvenuta nel forum. Spero di aver capito bene la richiesta. Mi sembra di intuire che tu stia cercando di determinare un potenziale \( U \) di una 1-forma differenziale esatta \( \omega \) per mezzo della relazione
\[
\int_{\gamma} \omega = U(P) - U(P_0),
\]
dove \( P_0 \) è un prefissato (e arbitrario) punto appartenente all'aperto ove la forma è definita, \( P \) è un punto di coordinate generiche e \( \gamma \) è la spezzata che li congiunge (o qualsiasi altra curva avente \( P_0 \) come estremo iniziale e \( P \) come estremo finale). Se questa è la situazione, allora dovresti essere d'accordo che quando si calcola l'integrale curvilineo della forma lungo il tratto orizzontale occorrerà considerare, punto per punto, il vettore tangente al segmento di retta in quel dato punto. Ebbene, se il segmento è orizzontale, questo vettore tangente è proprio il vettore (costante) \( (1,0) \); allo stesso modo, quando si integra sul segmento verticale si dovrà calcolare la forma sul vettore tangente \( (0,1) \).
Nel caso tu voglia, invece, integrare lungo il segmento di retta che congiunge i due punti, allora dovrai tenere conto della parametrizzazione di detto segmento. La parametrizzazione canonica del segmento orientato di retta che trasla il punto \( P_0 \) nel punto \( P \) è proprio
\[ \gamma \colon t \in [0,1] \mapsto \gamma(t) := P_0 + t(P - P_0).\]
Osserva che \( \gamma(0) = P_0 \), \( \gamma(1) = P \), mentre per \( t \in (0,1) \) verranno via via descritti tutti i punti "intermedi" del segmento. Ecco svelato il motivo per cui gli estremi di integrazione sono sempre \( 0 \) e \( 1 \).
\[
\int_{\gamma} \omega = U(P) - U(P_0),
\]
dove \( P_0 \) è un prefissato (e arbitrario) punto appartenente all'aperto ove la forma è definita, \( P \) è un punto di coordinate generiche e \( \gamma \) è la spezzata che li congiunge (o qualsiasi altra curva avente \( P_0 \) come estremo iniziale e \( P \) come estremo finale). Se questa è la situazione, allora dovresti essere d'accordo che quando si calcola l'integrale curvilineo della forma lungo il tratto orizzontale occorrerà considerare, punto per punto, il vettore tangente al segmento di retta in quel dato punto. Ebbene, se il segmento è orizzontale, questo vettore tangente è proprio il vettore (costante) \( (1,0) \); allo stesso modo, quando si integra sul segmento verticale si dovrà calcolare la forma sul vettore tangente \( (0,1) \).
Nel caso tu voglia, invece, integrare lungo il segmento di retta che congiunge i due punti, allora dovrai tenere conto della parametrizzazione di detto segmento. La parametrizzazione canonica del segmento orientato di retta che trasla il punto \( P_0 \) nel punto \( P \) è proprio
\[ \gamma \colon t \in [0,1] \mapsto \gamma(t) := P_0 + t(P - P_0).\]
Osserva che \( \gamma(0) = P_0 \), \( \gamma(1) = P \), mentre per \( t \in (0,1) \) verranno via via descritti tutti i punti "intermedi" del segmento. Ecco svelato il motivo per cui gli estremi di integrazione sono sempre \( 0 \) e \( 1 \).
Grazie per il benvenuta! 
Grazie mille per le delucidazioni! Hai capito bene cosa volevo sapere! Mi sfugge però ancora una cosa: mi hai scritto che il vettore tangente al segmento orizzontale è $ (1,0) $ e ho capito il perché, ma non potrebbe andare bene anche $ (2,0) $ o un qualsiasi altro vettore che abbia la componente verticale nulla? Stessa cosa per il vettore tangente al segmento verticale: invece di $ (0,1) $ non potrei usare un vettore qualsiasi che abbia la componente orizzontale nulla?
Grazie mille per le delucidazioni! Hai capito bene cosa volevo sapere! Mi sfugge però ancora una cosa: mi hai scritto che il vettore tangente al segmento orizzontale è $ (1,0) $ e ho capito il perché, ma non potrebbe andare bene anche $ (2,0) $ o un qualsiasi altro vettore che abbia la componente verticale nulla? Stessa cosa per il vettore tangente al segmento verticale: invece di $ (0,1) $ non potrei usare un vettore qualsiasi che abbia la componente orizzontale nulla?
Dunque... quando si lavora con una curva regolare parametrizzata \( \gamma = \gamma(t), t \in [a,b] \), il vettore tangente alla curva in un punto è univocamente determinato come quel vettore avente per componenti le derivate della parametrizzazione calcolate nel punto. Io ti ho detto che il vettore tangente al segmento orizzontale che congiunge il punto \( P_0 = (x_0, y_0) \) con il punto \( P = (x, y_0) \) è \( (1,0) \) avendo immaginato che tu abbia parametrizzato detto segmento nella forma
\[ \gamma_{1}(t) := (t, y_0), t \in [x_0,x].\]
Chiaramente, tu sei libera di parametrizzare quel segmento, ad esempio, nel modo equivalente
\[ \gamma_{2}(t) := (x_0 + t(x-x_0), y_0), t \in [0,1], \]
e il tal caso il vettore tangente sarà diverso (esplicitamente, sarà \( (x-x_0, 0) \)). Ovviamente, però, quando scrivi l'integrale devi cambiare gli estremi di integrazione! Il risultato è lo stesso, ma la determinazione del vettore tangente si riferisce sempre alla particolare parametrizzazione della curva in oggetto.
\[ \gamma_{1}(t) := (t, y_0), t \in [x_0,x].\]
Chiaramente, tu sei libera di parametrizzare quel segmento, ad esempio, nel modo equivalente
\[ \gamma_{2}(t) := (x_0 + t(x-x_0), y_0), t \in [0,1], \]
e il tal caso il vettore tangente sarà diverso (esplicitamente, sarà \( (x-x_0, 0) \)). Ovviamente, però, quando scrivi l'integrale devi cambiare gli estremi di integrazione! Il risultato è lo stesso, ma la determinazione del vettore tangente si riferisce sempre alla particolare parametrizzazione della curva in oggetto.
Perfetto! Grazie mille! Ora ho le idee molto più chiare!
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