Costruire una funzione continua, differenziabile, pari
Buonasera a tutti!
Mi servirebbe trovare una funzione h(x) che si comporti in questo modo (so per certo che esiste):
continua, pari, differenziabile, con |h| $ \leq $ $x^2$ e |h'| $ \leq $ 4x.
Inoltre, sappiamo già come è definita nel seguente dominio:
$ { ( 0 se |x| \leq 1 ),( x^2 se |x| \geq 2 ):} $
Come posso raccordarla dove non so esattamente come sia fatta?
In questo modo riuscirei a concludere una dimostrazione molto importante!
Grazie per l'aiuto
Mi servirebbe trovare una funzione h(x) che si comporti in questo modo (so per certo che esiste):
continua, pari, differenziabile, con |h| $ \leq $ $x^2$ e |h'| $ \leq $ 4x.
Inoltre, sappiamo già come è definita nel seguente dominio:
$ { ( 0 se |x| \leq 1 ),( x^2 se |x| \geq 2 ):} $
Come posso raccordarla dove non so esattamente come sia fatta?
In questo modo riuscirei a concludere una dimostrazione molto importante!
Grazie per l'aiuto
Risposte
Per curiosità, c'è qualche motivo preciso per cui ti serva un'espressione esplicita?
Io, semplicemente, fissato $\epsilon\in (0, 1/2)$ partirei da una funzione $h$ che valga $0$ per $|x| \le 1+\epsilon$, $x^2$ per $|x| \ge 2-\epsilon$, raccordata linearmente dove non è già definita, e poi considererei la mollificata [tex]h_{\epsilon} = \rho_{\epsilon}\ast h[/tex] in $(1,2)$, lasciando $h$ invariata fuori, con $\rho_{\epsilon}$ mollificatore standard.
Per $\epsilon$ sufficientemente piccolo $h_{\epsilon}$ ha tutte le proprietà che ti servono.
Io, semplicemente, fissato $\epsilon\in (0, 1/2)$ partirei da una funzione $h$ che valga $0$ per $|x| \le 1+\epsilon$, $x^2$ per $|x| \ge 2-\epsilon$, raccordata linearmente dove non è già definita, e poi considererei la mollificata [tex]h_{\epsilon} = \rho_{\epsilon}\ast h[/tex] in $(1,2)$, lasciando $h$ invariata fuori, con $\rho_{\epsilon}$ mollificatore standard.
Per $\epsilon$ sufficientemente piccolo $h_{\epsilon}$ ha tutte le proprietà che ti servono.
Il mio problema era esattamente quello di trovare una funzione con quelle propietà, tale che
$ AA epsilon $ $ h(x)= { ( x^2 per |x| \geq 2 epsilon),( 0 se |x| \leq 2 epsilon ):} $
e avevo pensato di trovarne una esplicita per $ epsilon =1$ e poi generalizzare per ogni $ epsilon$ ponendo $h(x) = epsilon h(x/epsilon)$...
$ AA epsilon $ $ h(x)= { ( x^2 per |x| \geq 2 epsilon),( 0 se |x| \leq 2 epsilon ):} $
e avevo pensato di trovarne una esplicita per $ epsilon =1$ e poi generalizzare per ogni $ epsilon$ ponendo $h(x) = epsilon h(x/epsilon)$...
Vabbé, se ti basta un raccordo $C^1$ prova ad usare, per $1 < |x| < 2$, la funzione
$4 \exp[\frac{|x|-2}{|x|-1}]$.
(Non ho controllato se soddisfa i vincoli sulla derivata, vedi un po' tu.)
$4 \exp[\frac{|x|-2}{|x|-1}]$.
(Non ho controllato se soddisfa i vincoli sulla derivata, vedi un po' tu.)
Grazie mille, adesso controllo..cmq in effetti anche per $epsilon = 1$ dovrebbe bastarmi l'esistenza..quindi potrei usare anche i mollificatori..in ogni caso grazie!
Aspetta, forse quella che ti ho indicato sfora veramente il vincolo sulla derivata.
Prova con quest'altra, che mi sembra vada bene:
$4 \exp(\frac{x^2-4}{4(|x|-1)})$.
Comunque, basta aggiustare un po' gli esponenti per arrivare ad una funzione che vada bene.
Prova con quest'altra, che mi sembra vada bene:
$4 \exp(\frac{x^2-4}{4(|x|-1)})$.
Comunque, basta aggiustare un po' gli esponenti per arrivare ad una funzione che vada bene.
benissimo, adesso la sistemo! ti ringrazio
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