Costruire funzioni biiettive

[Marix2]

Ciao a tutti,
devo costruire delle funzioni biiettive tra questi insiemi:
1: R e R - {0}
2: R e C

qualcuno può aiutarmi?

Grazie!

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Secondo me potresti provare a scrivere qualche idea che ti è venuta, così poi se ne parla

[Marix2]

Se vuoi ho la soluzione della prima
però non l'ho capita -.- la scrivo tale e quale:

osserviamo innanzitutto che la funzione cercata non può essere continua. Sia N = {0,1,2,3,...}. La funzione f: R -> R - {0} così definita

f(x) = {x, x € R \ {N}
{x + 1, x € N

è una biiezione. Con un ragionamento simile possiamo costruire una biiezione fa R e R meno un numero finito di punti R \ {p1,....,pk}.



Per la seconda invece non so proprio da dove cominciare

[G.D.5]

Cosa c'è, di preciso, che non ti torna nella prima applicazione?

[Marix2]

Il problema è che non riesco a capire la forma in cui e scritta!
O meglio: non riesco ad interpretare f(x).

[G.D.5]

Innanzitutto per chi ha scritto la soluzione, $0 \in NN$: questo ti assicura che il dominio è stato spezzato bene, i.e. $RR\\NN cup NN = RR$; inoltre $(RR\\NN, NN)$ costituisce una partizione di $RR$: questo ti assicura che l'applicazione è ben definita, in quanto scelto un $x \in RR$ questo o sta in $RR\\NN$ o sta in $NN$, quindi l'assegnazione per gli $x in RR\\NN$ non cozza con l'assegnazione degli $x \in NN$; se $x \in RR \\ NN$, allora l'assegnazione $x \mapsto x$ è l'identità di $RR\\NN$ in $RR\\NN$, che è chiaramente biettiva; l'assegnazione $x \mapsto x+1$ se $x \in NN$ è l'applicazione del successivo, che è iniettiva da $NN$ in $NN$, ma non biettiva, dacché $\stackrel(\leftarrow)(f)(0)=\emptyset$, ma dovendo essere il codominio privo dello $0$, possiamo vedere l'asegnazione $x \mapsto x$ come biettiva di $NN$ in $NN^{+}:=NN\\{0}$. Capisci che da tutte queste chiacchiere deriva la biettività di $f$.

[dissonance]

Costruire una biiezione tra $RR$ e $CC$ è un esercizio simpatico. Forse è addirittura possibile costruire una biiezione continua...? Chiaramente non un omeomorfismo, ma forse una applicazione continua in un solo verso è possibile. (Anche se promette di essere un casino solenne. Che io sappia esistono funzioni da $[0,1]$ in $[0,1]times[0,1]$ continue, mi pare che si chiamino curve di Peano).

A parte questo, può essere uno spunto pensare ai numeri decimali. Usando i numeri decimali uno riesce a costruire ogni sorta di applicazione strampalata. Per esempio, nel nostro caso potremmo pensare di associare al numero reale compreso tra 0 e 1 $0.d_1d_2...d_n...$ il numero complesso $(0.d1d_3...d_(2n-1)...)\ + i(0.d_2d_4...d_(2n)...)$. Questa funzione mi pare che sia invertibile e applica l'intervallo $[0,1]$ nel quadrato $[0,1]times[0,1]$ complesso (numeri con parte reale e parte immaginaria comprese tra 0 e 1).

P.S.: C'è da lavorare un poco però... I decimali periodici potrebbero dare problemi. A naso, penso che si risolva tutto, comunque.

[Marix2]

perfetto grazie mille

[dissonance]

Sottolineo che quella non è la soluzione del problema ma solo un suggerimento. Ci sono alcune cosucce che vanno puntualizzate: ad esempio se prendiamo il numero reale $0.91929394....$ quell'applicazione lo trasforma nel numero complesso $(0.9999....)+i(0.1234...)$ che ha parte reale $0.bar(9)$ ("zero virgola nove periodico"), cioè 1.

Nessun problema: stiamo considerando una trasformazione biiettiva tra $[0,1]$ e $[0,1]times[0,1]$. Però questo fatto è da tenere presente quando passiamo al caso $RR\toCC$.
Ho voluto segnalare questa cosa per evitare di indurre errori.