Costanti di equivalenza tra norma - dimostrazioni ed esercizi tipo
Buongiorno a tutti,
ho qualche dubbio in merito alle modalità con cui si ricavano le costanti di equivalenza tra norme e come la disuguaglianza può essere calata nella realtà degli esecizi.
Sono a conoscenza del fatto che:
$c* ||v||_q$ $<=$ $||v||_p$ $<=$ $C* ||v||_q$
e che, ad esempio a questo link (http://tinyurl.com/3z8lt84) posso trovare una paricissima tabella per ricavare i valori di $c$ e $C$ in base allo dimensione di $RR^n$ e al tipo di norma coinvolta.
Il mio problema è quello di dimostrare come ottengo i le costanti di equivalenza, calcolandole di volta in volta.
Questo è un esercizio che ho come esempio:
" Calcolare le costanti di equivalenza tra le norme $L^1$ e $L^oo$ in $RR^2$ "
I passaggi che ho, sono:
$v=(x,y)$
$c* ||v||_oo$ $<=$ $||v||_1$ $<=$ $C* ||v||_oo$
$c* max (|x|,|y|)$ $<=$ $|x|+|y|$ $<=$ $C* max (|x|,|y|)$
poi considero:
se $c* max (|x|,|y|) = |x|$ comunque $<= |x|+|y|$
se $c* max (|x|,|y|) = |y|$ comunque $<= |x|+|y|$
quindi $ c = 1 $
risulta per forza che:
$|x|+|y|$ $<=$ $ max (|x|,|y|) + max (|x|,|y|) $
quindi $|x|+|y|$ $<=$ $ 2*max (|x|,|y|) $
da cui $ C = 2 $
...
ma se volessi dimostrare, attraverso un procedimento analogo, l'equivalenza per qualsiasi delle altre combinazioni di norme?
ad esempio, se avessi $c* ||v||_2$ $<=$ $||v||_1$ $<=$ $C* ||v||_2$, quale sarebbe il procedimento per ricavare analiticamente le costanti $c$ e $C$? Oppure per trovarle nel caso di $L^oo$ e $L^2$ in $RR^2$ ?
Grazie in anticipo.
ho qualche dubbio in merito alle modalità con cui si ricavano le costanti di equivalenza tra norme e come la disuguaglianza può essere calata nella realtà degli esecizi.
Sono a conoscenza del fatto che:
$c* ||v||_q$ $<=$ $||v||_p$ $<=$ $C* ||v||_q$
e che, ad esempio a questo link (http://tinyurl.com/3z8lt84) posso trovare una paricissima tabella per ricavare i valori di $c$ e $C$ in base allo dimensione di $RR^n$ e al tipo di norma coinvolta.
Il mio problema è quello di dimostrare come ottengo i le costanti di equivalenza, calcolandole di volta in volta.
Questo è un esercizio che ho come esempio:
" Calcolare le costanti di equivalenza tra le norme $L^1$ e $L^oo$ in $RR^2$ "
I passaggi che ho, sono:
$v=(x,y)$
$c* ||v||_oo$ $<=$ $||v||_1$ $<=$ $C* ||v||_oo$
$c* max (|x|,|y|)$ $<=$ $|x|+|y|$ $<=$ $C* max (|x|,|y|)$
poi considero:
se $c* max (|x|,|y|) = |x|$ comunque $<= |x|+|y|$
se $c* max (|x|,|y|) = |y|$ comunque $<= |x|+|y|$
quindi $ c = 1 $
risulta per forza che:
$|x|+|y|$ $<=$ $ max (|x|,|y|) + max (|x|,|y|) $
quindi $|x|+|y|$ $<=$ $ 2*max (|x|,|y|) $
da cui $ C = 2 $
...
ma se volessi dimostrare, attraverso un procedimento analogo, l'equivalenza per qualsiasi delle altre combinazioni di norme?
ad esempio, se avessi $c* ||v||_2$ $<=$ $||v||_1$ $<=$ $C* ||v||_2$, quale sarebbe il procedimento per ricavare analiticamente le costanti $c$ e $C$? Oppure per trovarle nel caso di $L^oo$ e $L^2$ in $RR^2$ ?
Grazie in anticipo.
Risposte
Beh, vai "a occhio"! 
Il che può significare molte cose...
Ad esempio, facendo un disegnino delle palle nelle due norme, si vede che \(c=1\) e \(C=\sqrt{2}\).
D'altra parte, è abbastanza evidente che \(|x|^2+|y|^2\leq (|x|+|y|)^2\leq 2(|x|^2+|y|^2)\), da cui trovi lo stesso risultato.
Oppure, trovare le costanti equivale a studiarsi gli estremi della funzione:
\[
\phi (x,y) := \frac{|x|+|y|}{\sqrt{|x|^2+|y|^2}}\; ,
\]
oppure di:
\[
\psi (x,y) := \frac{(|x|+|y|)^2}{|x|^2+|y|^2}\ldots
\]
Insomma, hai un ventaglio di possibilità tutte elementari da provare. Sta a te capire dove vuoi andare a parare (geometria, disuguaglianze elementari, Calcolo Differenziale, etc...) e scegliere.
Il che può significare molte cose...
Ad esempio, facendo un disegnino delle palle nelle due norme, si vede che \(c=1\) e \(C=\sqrt{2}\).
D'altra parte, è abbastanza evidente che \(|x|^2+|y|^2\leq (|x|+|y|)^2\leq 2(|x|^2+|y|^2)\), da cui trovi lo stesso risultato.
Oppure, trovare le costanti equivale a studiarsi gli estremi della funzione:
\[
\phi (x,y) := \frac{|x|+|y|}{\sqrt{|x|^2+|y|^2}}\; ,
\]
oppure di:
\[
\psi (x,y) := \frac{(|x|+|y|)^2}{|x|^2+|y|^2}\ldots
\]
Insomma, hai un ventaglio di possibilità tutte elementari da provare. Sta a te capire dove vuoi andare a parare (geometria, disuguaglianze elementari, Calcolo Differenziale, etc...) e scegliere.
ah, ok.
ma quando fai il disegno delle palle, da quale parti?
parti dal termine al centro della diseguaglianza (mettendola =1)? e poi ricavi gli atri?
ma quando fai il disegno delle palle, da quale parti?
parti dal termine al centro della diseguaglianza (mettendola =1)? e poi ricavi gli atri?
Puoi fare come ti piace di più... Tanto puoi sempre riscalare (per l'omogeneità della norma).
e se invece che essere in $RR^2$ fossi in $RR^3$?
Stessa cosa.
Sono sempre possibili diversi approcci, sta a te scegliere quello che ti piace di più.
Il più delle volte, però, le costanti buone nelle disuguaglianze sono "citofonate" se conosci un po' di disuguaglianze elementari, come le disuguaglianze tra medie.
Sono sempre possibili diversi approcci, sta a te scegliere quello che ti piace di più.
Il più delle volte, però, le costanti buone nelle disuguaglianze sono "citofonate" se conosci un po' di disuguaglianze elementari, come le disuguaglianze tra medie.
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