Costante "limitativa" per il differenziale
Sono alle prese con il seguente esercizio, ma non mi vengono delle idee decenti - farò poi delle osservazioni, e mi piacerebbe poter ricevere soltanto dei piccoli hint (considerate che vedo queste cose da meno di due settimane).
Esercizio. Dimostrare che esiste una costante \(\displaystyle K=K(n) \) dipendente da \(\displaystyle n \in \mathbb{N} \) con la seguente proprietà: detta \(\displaystyle B= \{x \in \mathbb{R}^n : |x| < 1 \} \) la palla unitaria in \(\displaystyle \mathbb{R}^n \), ogni funzione \(\displaystyle f: B \to B \) di classe \(\displaystyle \mathcal{C}^1 \) verifica \[\displaystyle \inf_{x \in B} \| df(x) \| \le K \]
Osservazioni (e dubbi). Pensavo di considerare, per semplicità, il caso \(\displaystyle n=2 \). In primis non riesco a capire una cosa: la norma in cui è racchiuso il differenziale dovrebbe essere la classica norma operatoriale e quindi dovrebbesi avere \[\displaystyle \|df(x)\|=\| df(x) \|_{\mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)}=\sup_{\|x\| \le 1} \|df(x) \| \] ove l'ultima a destra è poi la norma euclidea. Ma allora il testo mi chiede di provare che \[\displaystyle \inf_{x \in B} \; \max_{\|x\|\le1} \|df(x)\| \le K \qquad \text{?}\]
Mi domandavo poi se avesse senso considerare la matrice jacobiana per cavarne qualcosa \[\displaystyle df=Jf=\begin{pmatrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial x} & \frac{\partial f_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial f_{2}}{\partial x} & \frac{\partial f_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} \] ma non riesco a capire cosa può significare il considerare la norma di una matrice...
Domando, per favore, soltanto degli inviti alla soluzione. Vorrei arrivarci da solo.
Ringrazio.
Esercizio. Dimostrare che esiste una costante \(\displaystyle K=K(n) \) dipendente da \(\displaystyle n \in \mathbb{N} \) con la seguente proprietà: detta \(\displaystyle B= \{x \in \mathbb{R}^n : |x| < 1 \} \) la palla unitaria in \(\displaystyle \mathbb{R}^n \), ogni funzione \(\displaystyle f: B \to B \) di classe \(\displaystyle \mathcal{C}^1 \) verifica \[\displaystyle \inf_{x \in B} \| df(x) \| \le K \]
Osservazioni (e dubbi). Pensavo di considerare, per semplicità, il caso \(\displaystyle n=2 \). In primis non riesco a capire una cosa: la norma in cui è racchiuso il differenziale dovrebbe essere la classica norma operatoriale e quindi dovrebbesi avere \[\displaystyle \|df(x)\|=\| df(x) \|_{\mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)}=\sup_{\|x\| \le 1} \|df(x) \| \] ove l'ultima a destra è poi la norma euclidea. Ma allora il testo mi chiede di provare che \[\displaystyle \inf_{x \in B} \; \max_{\|x\|\le1} \|df(x)\| \le K \qquad \text{?}\]
Mi domandavo poi se avesse senso considerare la matrice jacobiana per cavarne qualcosa \[\displaystyle df=Jf=\begin{pmatrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial x} & \frac{\partial f_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial f_{2}}{\partial x} & \frac{\partial f_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} \] ma non riesco a capire cosa può significare il considerare la norma di una matrice...
Domando, per favore, soltanto degli inviti alla soluzione. Vorrei arrivarci da solo.
Ringrazio.
Risposte
Visto che sullo spazio delle matrici le norme sono tutte equivalenti, puoi tranquillamente usare
\[
\| A\| := \sqrt{\sum_{i,j=1}^n a_{ij}^2},
\qquad A = (a_{ij})_{i,j=1,\ldots n}.
\]
\[
\| A\| := \sqrt{\sum_{i,j=1}^n a_{ij}^2},
\qquad A = (a_{ij})_{i,j=1,\ldots n}.
\]
Ok, interessante sviluppo (in realtà questa norma non l'avevo mai vista). Il problema diviene quindi il provare che ( - ancora caso bidimensionale) \[\displaystyle \inf_{x \in B} \sqrt{\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial x} \right)^2 + \left(\frac{\partial f_{1}}{\partial y} \right)^2 + \left(\frac{\partial f_{2}}{\partial x} \right)^2 + \left(\frac{\partial f_{2}}{\partial y} \right)^2} \le K(n)\] adesso devo capire cosa posso dire di quelle derivate parziali. Se \(\displaystyle B \) fosse una palla chiusa potrei appoggiarmi al th. di Weierstrass e a quello di Heine-Borel per concludere che ogni componente ammette massimo finito (funzioni continue su di un chiuso e limitato di \(\displaystyle \mathbb{R}^n \)), ma senza i punti di frontiera la compattezza non è garantita...
Devo essere rimbecillito del tutto, perché ho fatto meno di un passo... Continua a mancarmi l'idea (o la teoria?).
Dal mio libro di Analisi II leggo che:
"[...] \(\displaystyle T \) operatore lineare risulta essere continuo se e solo se \(\displaystyle \|T \| < +\infty \), [...] e cioè (gli operatori lineari continui) trasformano limitati in limitati; [...]". E' il mio caso: il differenziale è un operatore lineare continuo per definizione, quindi dovrei poter asserire che \(\displaystyle \| df \| < + \infty \). Ora, siccome le norme sono equivalenti, questo equivale a dire che \[\displaystyle 0 \le \sqrt{\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial x} \right)^2 + \left(\frac{\partial f_{1}}{\partial y} \right)^2 + \left(\frac{\partial f_{2}}{\partial x} \right)^2 + \left(\frac{\partial f_{2}}{\partial y} \right)^2} < + \infty \] il che implica la limitatezza di tutte le componenti delle derivate parziali sulla palla aperta.
Cos'altro posso dire? Mi risulta ancora difficile stimare quell'estremo inferiore... Sono fuori strada?
Ringrazio
Dal mio libro di Analisi II leggo che:
"[...] \(\displaystyle T \) operatore lineare risulta essere continuo se e solo se \(\displaystyle \|T \| < +\infty \), [...] e cioè (gli operatori lineari continui) trasformano limitati in limitati; [...]". E' il mio caso: il differenziale è un operatore lineare continuo per definizione, quindi dovrei poter asserire che \(\displaystyle \| df \| < + \infty \). Ora, siccome le norme sono equivalenti, questo equivale a dire che \[\displaystyle 0 \le \sqrt{\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial x} \right)^2 + \left(\frac{\partial f_{1}}{\partial y} \right)^2 + \left(\frac{\partial f_{2}}{\partial x} \right)^2 + \left(\frac{\partial f_{2}}{\partial y} \right)^2} < + \infty \] il che implica la limitatezza di tutte le componenti delle derivate parziali sulla palla aperta.
Cos'altro posso dire? Mi risulta ancora difficile stimare quell'estremo inferiore... Sono fuori strada?
Ringrazio
Questo problema non mi sembra del tutto banale; dove l'hai trovato?
Ciao Rigel, il problema proviene da uno dei fogli di esercizi settimanali per il corso di Analisi II.
Non sapendo che pesci pigliare, avevo chiesto anche un suggerimento direttamente al professore. Egli mi rispose:
"Prova così: prendi \(\displaystyle n=2 \); la norma \(\displaystyle \| df(x) \| \) è equivalente al massimo del valore assoluto delle entrate della matrice Jacobiana \(\displaystyle 2 \times 2 \); procedi per assurdo e supponi tutte le derivate parziali positive."
In effetti, come suggerimento, mi è sembrato un po' laconico. Ti fa venire in mente qualcosa?
Non sapendo che pesci pigliare, avevo chiesto anche un suggerimento direttamente al professore. Egli mi rispose:
"Prova così: prendi \(\displaystyle n=2 \); la norma \(\displaystyle \| df(x) \| \) è equivalente al massimo del valore assoluto delle entrate della matrice Jacobiana \(\displaystyle 2 \times 2 \); procedi per assurdo e supponi tutte le derivate parziali positive."
In effetti, come suggerimento, mi è sembrato un po' laconico. Ti fa venire in mente qualcosa?
Non sono completamente sicuro che le cose filino così lisce (ma forse perché non ci ho pensato abbastanza).
Il suggerimento sarebbe senz'altro valido supponendo, ad esempio, che il massimo delle entrate sia raggiunto sempre dalla medesima entrata. Infatti in questo caso ti puoi sostanzialmente ridurre al caso unidimensionale (nel qual caso verifichi subito che la tesi è valida con \(K=1\)).
Il suggerimento sarebbe senz'altro valido supponendo, ad esempio, che il massimo delle entrate sia raggiunto sempre dalla medesima entrata. Infatti in questo caso ti puoi sostanzialmente ridurre al caso unidimensionale (nel qual caso verifichi subito che la tesi è valida con \(K=1\)).
Formalizzo le mie perplessità.
Consideriamo, in dimensione \(2\), una funzione del tipo
\[
f(x,y) = \frac{1}{2} (\cos \phi(x,y),\ \sin\phi(x,y)),\quad (x,y)\in B,
\]
con \(\phi\colon B\to \mathbb{R}\) funzione di classe \(C^1\).
Abbiamo che \(f\colon B\to B\) è di classe \(C^1\), e inoltre
\[
\|Df(x,y)\|^2 = \sum_{i,j=1}^2 \left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right) = \frac{1}{4}\|\nabla\phi(x,y)\|^2.
\]
Se per esempio scegli \(\phi(x,y) = nx\), in modo tale che \(\nabla\phi(x,y) = (n,0)\) e dunque \(\|\nabla\phi(x,y)\|^2 = n^2\), vedi subito che hai
\[
\inf_{(x,y)\in B} \|Df(x,y)\| = \frac{n}{2}.
\]
Sembrerebbe dunque che l'asserto proposto sia falso.
Consideriamo, in dimensione \(2\), una funzione del tipo
\[
f(x,y) = \frac{1}{2} (\cos \phi(x,y),\ \sin\phi(x,y)),\quad (x,y)\in B,
\]
con \(\phi\colon B\to \mathbb{R}\) funzione di classe \(C^1\).
Abbiamo che \(f\colon B\to B\) è di classe \(C^1\), e inoltre
\[
\|Df(x,y)\|^2 = \sum_{i,j=1}^2 \left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right) = \frac{1}{4}\|\nabla\phi(x,y)\|^2.
\]
Se per esempio scegli \(\phi(x,y) = nx\), in modo tale che \(\nabla\phi(x,y) = (n,0)\) e dunque \(\|\nabla\phi(x,y)\|^2 = n^2\), vedi subito che hai
\[
\inf_{(x,y)\in B} \|Df(x,y)\| = \frac{n}{2}.
\]
Sembrerebbe dunque che l'asserto proposto sia falso.
Forse il testo era
\( \displaystyle \inf_{x \in B} \| df(x) \| \geq K \)
\( \displaystyle \inf_{x \in B} \| df(x) \| \geq K \)
@Rigel: che dire, il tuo controesempio mi convince...
@commodore64: il testo è stato da me copiato correttamente.

@commodore64: il testo è stato da me copiato correttamente.