Cos(n)=0
Sto cercando di capire come questa equazione abbia soluzioni intere, e quindi appartenenti all'insieme dei naturali. Se non ho capito male dovrebbe trattarsi di un'equazione diofantea.
In particolare vorrei capire il vero motivo per cui questa serie numerica risulta divergente:
$ sum_(n = 0)^(+oo) (1 / n^(1+|cos(n)|) ) $
Ditemi tutto quello che sapete per favore!
grazie!
In particolare vorrei capire il vero motivo per cui questa serie numerica risulta divergente:
$ sum_(n = 0)^(+oo) (1 / n^(1+|cos(n)|) ) $
Ditemi tutto quello che sapete per favore!
grazie!
Risposte
Cosa c'entrano le equazioni diofantee con una semplicissima equazione trigonometrica?
Insomma, l'equazione $\cos x=0$ la sai risolvere dalle superiori: sapendo quali sono tutte le sue soluzioni puoi facilmente vedere se ce ne sono di naturali.
Per quanto riguarda la serie, prova a minorare.
Insomma, l'equazione $\cos x=0$ la sai risolvere dalle superiori: sapendo quali sono tutte le sue soluzioni puoi facilmente vedere se ce ne sono di naturali.
Per quanto riguarda la serie, prova a minorare.
Ok, ma le soluzioni di cos(x)=0 sono x= pigreco/2 + k*pigreco e non mi pare ci siano numeri naturali tra queste. Quindi quello che mi chiedo è come fa quella serie a divergere se tra gli addendi della sommatoria inifnita non compare mai 1/n, ma l'esponente è sempre maggiore di 1 e quindi per il criterio di condensazione dovrebbe convergere?
"Giuly19":
Ok, ma le soluzioni di $cos(x)=0$ sono $x= pi/2 + k pi$ ($k in ZZ$) e non mi pare ci siano numeri naturali tra queste.
Non mi pare non è molto "matematico", quindi dovresti dimostrarlo... Prova a ragionare per assurdo.
"Giuly19":
Quindi quello che mi chiedo è come fa quella serie a divergere se tra gli addendi della sommatoria infinita non compare mai 1/n, ma l'esponente è sempre maggiore di 1 e quindi per il criterio di condensazione dovrebbe convergere?
Effettivamente... Ora che ci penso meglio è "difficile" quella serie lì.
Infatti [tex]$1\leq 1+|\cos n|\leq 2$[/tex] ed, anzi, [tex]$1$[/tex] e [tex]$2$[/tex] sono proprio l'estremo inferiore e superiore della successione di esponenti [tex]$1+|\cos n|$[/tex] (la quale, quindi, non si può maggiorare o minorare meglio), da cui segue:
[tex]$\frac{1}{n^2}\leq \frac{1}{n^{1+|\cos n|}} \leq \frac{1}{n}$[/tex]
e non hai né una minorante divergente né una maggiorante convergente in questo modo.
D'altra parte, si dimostra che tutti i punti dell'intervallo [tex]$[1,2]$[/tex] sono punti limite per la successione degli esponenti [tex]$1+|\cos n|$[/tex], nel senso che , comunque fissi [tex]$x\in [1,2]$[/tex], esiste una successione d'indici [tex]$(n_k)$[/tex] tale che [tex]$\lim_k 1+|\cos n_k|=x$[/tex]; in particolare, se prendo [tex]$x=1$[/tex], trovo infiniti naturali tali che [tex]$\frac{1}{n^{1+|\cos n|}} \approx \frac{1}{n}$[/tex] e perciò la tua serie potrebbe anche divergere.
Per applicare il criterio di condensazione hai bisogno che la tua successione di addendi sia definitivamente decrescente, cosa che a me non pare possibile "a naso".
Ma può darsi che tu l'abbia provato lo stesso... Dimmi un po' tu.
Sul criterio di condensazione hai ragione, non si può applicare. Ma il ragionamento che avevo fatto partendo da quello era che questa serie diverge se compaiono infinite volte i termini della serie armonica, giusto? Quello che non riesco a capire è, come fa a comparire esattamente 1/n infinite volte? Anche se n = 15707963267 ( per esempio), il cos(n) a quel punto è veramente prossimo allo 0, ma non è 0; quindi in ogni caso come addendo della sommatoria avrò 1/n^(1+ qualcosa di molto piccolo). Quindi in pratica non ho concluso niente!
Vabbé, ma che c'entra che non compaia mai [tex]\frac{1}{n}[/tex]?
Nemmeno nella serie [tex]\sum \frac{1}{n \ln n}[/tex] compare mai [tex]\frac{1}{n}[/tex] (ed, anzi, gli addendi [tex]\frac{1}{n\ln n}[/tex] formano una successione infinitesima di ordina superiore a [tex]\frac{1}{n}[/tex]), però la serie [tex]\sum \frac{1}{n\ln n}[/tex] diverge lo stesso (per il suddetto criterio di condensazione).
Lo studio del carattere della serie assegnata è un problema "serio", secondo me.
Probabilmente tutto si fonda su uno studio approfondito della successione [tex]$1+|\cos n|$[/tex], ma al momento non mi viene nulla in mente.
P.S.: Ho provato con la disuguaglianza di Hölder, ma nemmeno ci si riesce.
Nemmeno nella serie [tex]\sum \frac{1}{n \ln n}[/tex] compare mai [tex]\frac{1}{n}[/tex] (ed, anzi, gli addendi [tex]\frac{1}{n\ln n}[/tex] formano una successione infinitesima di ordina superiore a [tex]\frac{1}{n}[/tex]), però la serie [tex]\sum \frac{1}{n\ln n}[/tex] diverge lo stesso (per il suddetto criterio di condensazione).
Lo studio del carattere della serie assegnata è un problema "serio", secondo me.
Probabilmente tutto si fonda su uno studio approfondito della successione [tex]$1+|\cos n|$[/tex], ma al momento non mi viene nulla in mente.
P.S.: Ho provato con la disuguaglianza di Hölder, ma nemmeno ci si riesce.
Butto lì una stima fatta un po' di corsa, quindi perdonate errori, costanti additive, moltiplicative, etc. 
Usando l'approssimazione diofantea di $\pi/2$, possiamo costruire una successione crescente di naturali dispari $q_k = 1+2p_k \to +\infty$ e una successione $n_k$ sempre di naturali tali che
$|\frac{\pi}{2}-\frac{n_k}{q_k}| < \frac{2}{q_k + 1}$,
da cui $|\frac{\pi}{2}(1+2p_k) - n_k| < \frac{2}{p_k}$.
In particolare abbiamo che $n_k = \frac{\pi}{2} + \pi p_k + \epsilon_k$, con $|\epsilon_k| < \frac{2}{p_k}$.
Osserviamo inoltre che $\frac{1}{p_k} \sim \frac{\pi}{n_k}$ per $k\to +\infty$, quindi $|\epsilon_k| < \frac{C}{n_k}$ per $k\to +\infty$.
Abbiamo dunque che
$|\cos(n_k)| = |\sin(\epsilon_k)| \le \frac{C}{n_k}$
da cui
$n_k^{1+|\cos(n_k)|} \le n_k^{1+C/n_k}$.
Questo dovrebbe essere sufficiente per concludere che la serie di partenza è divergente.
Usando l'approssimazione diofantea di $\pi/2$, possiamo costruire una successione crescente di naturali dispari $q_k = 1+2p_k \to +\infty$ e una successione $n_k$ sempre di naturali tali che
$|\frac{\pi}{2}-\frac{n_k}{q_k}| < \frac{2}{q_k + 1}$,
da cui $|\frac{\pi}{2}(1+2p_k) - n_k| < \frac{2}{p_k}$.
In particolare abbiamo che $n_k = \frac{\pi}{2} + \pi p_k + \epsilon_k$, con $|\epsilon_k| < \frac{2}{p_k}$.
Osserviamo inoltre che $\frac{1}{p_k} \sim \frac{\pi}{n_k}$ per $k\to +\infty$, quindi $|\epsilon_k| < \frac{C}{n_k}$ per $k\to +\infty$.
Abbiamo dunque che
$|\cos(n_k)| = |\sin(\epsilon_k)| \le \frac{C}{n_k}$
da cui
$n_k^{1+|\cos(n_k)|} \le n_k^{1+C/n_k}$.
Questo dovrebbe essere sufficiente per concludere che la serie di partenza è divergente.
L'idea abbozzata sopra va nella direzione giusta ma ci vuole una stima di quanti naturali $n_k$ godono della proprietà detta.
Qualcosa in questa direzione si trova qui:
http://math.stackexchange.com/questions ... ac1nk-cosn
Qualcosa in questa direzione si trova qui:
http://math.stackexchange.com/questions ... ac1nk-cosn
Grazie mille!
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