Coseno numeri complessi- coseno iperbolico
Salve a tutti. Chiedo scusa, affrontando lo studio dell'analisi complessa mi sono trovato a studiare, in un esempio, quando risulta che cos z è minore o uguale a 1 (con z, numero complesso, uguale a x + jy).
Dunque utilizzando una delle formule goniometriche principali ossia il coseno della somma di archi e alcune uguaglianze (che ho studiato) che sussistono tra il coseno e il coseno iperbolico, mi trovo a verificare quando il coseno iperbolico cosh y è minore o uguale di 1. Ho allora utilizzato la definizione di coseno iperbolico e svolto la disequazione che vede al primo membro e^y ed e ^-y.
Alla fine mi trovo a dover studiare quando il quadrato della differenza tra l'esponenziale di y e -1, ( e^y - 1)^2 è minore o uguale di 0. A tal punto ho un piccolo dubbio: Dato che y è reale, devo concludere che tale disequazione è verificata se e solo se e^y = 1 ? Il caso in cui il quadrato sopra scritto sia < 0, poichè non si verifica mai non devo considerarlo cioè non devo scrivere niente al riguardo quando mi trovo a fare un esercizio del genere? Pur stando nel campo dei numeri complessi (in quanto siamo partiti da z numero complesso) e avendo studiato che il campo complesso è un' "estensione" dell'insieme dei numeri reali, devo concludere con il dire che cos z è minore o uguale a 1 se e solo se e^y = 1? Mettendoci nel campo complesso non vi è nulla in più da dover considerare per esempio riguardo al fatto che il quadrato sopra scritto non è mai minore di 0?
Vi ringrazio tanto tanto per l'eventuale gentilissima risposta. Grazie.
Saluti
Dunque utilizzando una delle formule goniometriche principali ossia il coseno della somma di archi e alcune uguaglianze (che ho studiato) che sussistono tra il coseno e il coseno iperbolico, mi trovo a verificare quando il coseno iperbolico cosh y è minore o uguale di 1. Ho allora utilizzato la definizione di coseno iperbolico e svolto la disequazione che vede al primo membro e^y ed e ^-y.
Alla fine mi trovo a dover studiare quando il quadrato della differenza tra l'esponenziale di y e -1, ( e^y - 1)^2 è minore o uguale di 0. A tal punto ho un piccolo dubbio: Dato che y è reale, devo concludere che tale disequazione è verificata se e solo se e^y = 1 ? Il caso in cui il quadrato sopra scritto sia < 0, poichè non si verifica mai non devo considerarlo cioè non devo scrivere niente al riguardo quando mi trovo a fare un esercizio del genere? Pur stando nel campo dei numeri complessi (in quanto siamo partiti da z numero complesso) e avendo studiato che il campo complesso è un' "estensione" dell'insieme dei numeri reali, devo concludere con il dire che cos z è minore o uguale a 1 se e solo se e^y = 1? Mettendoci nel campo complesso non vi è nulla in più da dover considerare per esempio riguardo al fatto che il quadrato sopra scritto non è mai minore di 0?
Vi ringrazio tanto tanto per l'eventuale gentilissima risposta. Grazie.
Saluti
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