Coseno del coseno
Dimostrare che f(x) = cos(cos(cos(cos...(x)))) rappresenta
una retta di equazione y = 3/4
una retta di equazione y = 3/4
Risposte
Si ha:
f(x) = y = cos(y)
Risolvendo graficamente questa equazione si ottiene y = 0,739...
f(x) = y = cos(y)
Risolvendo graficamente questa equazione si ottiene y = 0,739...
Davvero così semplice è? Io pensavo
si dimostrasse con chissà quale procedimento...
Questo fatto l'ho scoperto con Derive e volevo sapere
se qualcuno di voi ne sapeva qualcosa di più.
Grazie MaMo!
si dimostrasse con chissà quale procedimento...
Questo fatto l'ho scoperto con Derive e volevo sapere
se qualcuno di voi ne sapeva qualcosa di più.
Grazie MaMo!
secondo me la soluzione è errata perche' mamo non ha risposto alla domanda "y=cos(cos(cos(...(x)))) è una retta y=3/4 SEMPRE(fireball cosi' l'ha posta la domanda)?" ma alla domanda "quando f(x)=x?"e giustamente con un procedimento semplice ponendo x=cos(x) si arriva appunto a x=cos(x) ma è un caso particolare non generale.Credo,cmq, che è la domanda ad essere stata mal posta (anche perche' in generale non è vero che è una retta) anche se il senso era quello.
Penso pure io che sia malposta... Comunque le cose
stanno così: prima con Derive ho disegnato y = cosx,
poi y = cos(cosx), poi cos(cos(cosx)) e così via, e ho
notato che il grafico risultante era una retta di equazione y = 3/4
stanno così: prima con Derive ho disegnato y = cosx,
poi y = cos(cosx), poi cos(cos(cosx)) e così via, e ho
notato che il grafico risultante era una retta di equazione y = 3/4
citazione:
secondo me la soluzione è errata perche' mamo non ha risposto alla domanda "y=cos(cos(cos(...(x)))) è una retta y=3/4 SEMPRE(fireball cosi' l'ha posta la domanda)?" ma alla domanda "quando f(x)=x?"
Credo che MaMo abbia interpretato la domanda come un problema di punto fisso. Ad esempio se anziché prendere la funzione coseno si prendesse la funzione
si potrebbe dire che nell'intervallo [0,1) (x^2)^2...^2 tende a 0. Infatti utilizzando il medesimo procedimento grafico si vede che l'unica soluzione in [0,1) di x^2=x è proprio 0. Quello che manca in questa dimostrazione (ma è intuitivo vederlo) è che partendo ogni punto di [0,1) ed iterando si giunga proprio a 0, ossia che 0 sia attrattivo. Per dare un esempio di nodo repulsivo basta allargare il dominio a [0,+inf) e considerare il punto 1: tutti i punti a destra di 1 si allontanano da 1 anizché avvicinarsi.Esiste un teorema a proposito che dice che se la mappa che genera tale sistema dinamico f è in modulo minore di 1 allora tal punto è attrattivo, e se è maggiore di 1 non lo è. (Se è = 1 dipende...). Dal momento che la derivata del coseno in tale punto è minore in modulo di 1 la dimostrazione dovrebbe essere completata.
Io ho provato a fare questo ragionamento: analizzando le immagini delle funzioni che si ottengono aggiungendo in successione una funzione coseno, quello che si ottiene può essere sintetizzato nel modo seguente:
y1=x Immagine=[-inf,+inf]
y2=cos(y1) Immagine [-1,1]
y3=cos(y2) Immagine [cos(1),1]
y4=cos(y3) Immagine [cos(1),cos(cos(1)]
y5=cos(y4) Immagine [cos(cos(cos(1)),cos(cos(1)]
Cosi procedendo è possibile indivuduare l'insieme immagine della generica funzione del tipo yn. Praticamente per determinare l'immagine della funzione y(n+1) rispetto alla funzione y(n) è possibile calcolare il coseno degli estremi dell'intervallo e invertirne l'ordine. Infatti a partire dalla y2 l'immagine della funzione è contenuta nell'intervallo [0,PI/2] all'interno del quale la funzione coseno è decrescente, quindi se applico una nuova composizione in coseno inverto l'ordinamento dell'immagine.
Si può osservare che così facendo riduco sempre più l'ampiezza dell'intervallo immagine; al limite, quando il numero delle composizioni tende all'infinito questo intervallo tende ad un punto che circa vale k=0.73908513 (approssimato all'ottava cifra decimale).
Se non ricordo male questa potrebbe essere una classica successione di funzioni. Secondo me, sempre in base ai miei lontani ricordi di analisi 2, potrebbe essere considerata una successione di funzioni uniformemente convergente su tutto R.
Aspetto riscontri più autorevoli.
Ciao, by Claudio
y1=x Immagine=[-inf,+inf]
y2=cos(y1) Immagine [-1,1]
y3=cos(y2) Immagine [cos(1),1]
y4=cos(y3) Immagine [cos(1),cos(cos(1)]
y5=cos(y4) Immagine [cos(cos(cos(1)),cos(cos(1)]
Cosi procedendo è possibile indivuduare l'insieme immagine della generica funzione del tipo yn. Praticamente per determinare l'immagine della funzione y(n+1) rispetto alla funzione y(n) è possibile calcolare il coseno degli estremi dell'intervallo e invertirne l'ordine. Infatti a partire dalla y2 l'immagine della funzione è contenuta nell'intervallo [0,PI/2] all'interno del quale la funzione coseno è decrescente, quindi se applico una nuova composizione in coseno inverto l'ordinamento dell'immagine.
Si può osservare che così facendo riduco sempre più l'ampiezza dell'intervallo immagine; al limite, quando il numero delle composizioni tende all'infinito questo intervallo tende ad un punto che circa vale k=0.73908513 (approssimato all'ottava cifra decimale).
Se non ricordo male questa potrebbe essere una classica successione di funzioni. Secondo me, sempre in base ai miei lontani ricordi di analisi 2, potrebbe essere considerata una successione di funzioni uniformemente convergente su tutto R.
Aspetto riscontri più autorevoli.
Ciao, by Claudio
hai ragione cyberman se la funzione è formata da un numero infinito di coseni le oscillazioni si schiacciano intorno al punto 0.739 sempre per ogni x di partenza ho sbagliato io...Ma credo che la dimostrazione non è cosi' banale anche perche' in molti punit il cos ha derivata minore di uno.Poi volevo dire a crsclaudio perche' il dominio lo prendi [cos(1) 1]...[cos(cos(cos(1))) 1] e non [cos(-1),cos(1)],...[cos(cos(cos(-1))) cos(cos(cos(1)))] forse è un errore di digitazione...cmq appena ho un po' di tempo mi ci metto a ragionare e vi scrivo le mie deduzioni.
Per Maolimix:
ho costruito il ragionamento per successive composizioni della funzione coseno:
y1=x Immagine=[-inf,+inf]
y2=cos(y1) Immagine [-1,1]
y3=cos(y2) Immagine [cos(1),1]
y4=cos(y3) Immagine [cos(1),cos(cos(1)]
y5=cos(y4) Immagine [cos(cos(cos(1)),cos(cos(1)]
l'immagine della y(n-1) diventa per la successiva composizione y(n) il dominio, o meglio l'intervallo in cui la funzione va a "pescare" i valori per ritrasformarli.
la y2 persca su tutto R e i valori che essa assume coprono completamente l'intervallo [-1,1], ovviamente la y3 che il coseno della y2 può trasformare solo i valori numerici dell'immagine di y2. Ma se una variabile si muove tra [-1,1] allora il coseno assume valori compresi tra [cos(1),1]. Attenzione che in questo passaggio che ho appena dettagliato la y3 lavora su un intervallo all'interno del quale la funzione coseno non è monotona e quindi l'immagine di tale funzione non copre l'intervallo definito dalla trasformazione dei suoi estremi. E poi ti vorrei far notare che cos(1)=cos(-1) perchè la funzione cos(x) è pari. Sono sicuro che se provi a tracciare il grafico di cos(x) nell'intervallo [-1,1] riesci a vedere immediatamente quello che ho affermato.
Le funzioni da y4 in poi invece lavorano su intervalli all'interno dei quali la funzione coseno è monotona decrescente e quindi l'intervallo immagine è dato semplicemente dalla trasformazione attraverso il coseno degli estremi. Attenzione che essendo la funzione decrescente se x1f(x2), cioè viene invertito l'ordinamento.
Ciao, by Claudio
ho costruito il ragionamento per successive composizioni della funzione coseno:
y1=x Immagine=[-inf,+inf]
y2=cos(y1) Immagine [-1,1]
y3=cos(y2) Immagine [cos(1),1]
y4=cos(y3) Immagine [cos(1),cos(cos(1)]
y5=cos(y4) Immagine [cos(cos(cos(1)),cos(cos(1)]
l'immagine della y(n-1) diventa per la successiva composizione y(n) il dominio, o meglio l'intervallo in cui la funzione va a "pescare" i valori per ritrasformarli.
la y2 persca su tutto R e i valori che essa assume coprono completamente l'intervallo [-1,1], ovviamente la y3 che il coseno della y2 può trasformare solo i valori numerici dell'immagine di y2. Ma se una variabile si muove tra [-1,1] allora il coseno assume valori compresi tra [cos(1),1]. Attenzione che in questo passaggio che ho appena dettagliato la y3 lavora su un intervallo all'interno del quale la funzione coseno non è monotona e quindi l'immagine di tale funzione non copre l'intervallo definito dalla trasformazione dei suoi estremi. E poi ti vorrei far notare che cos(1)=cos(-1) perchè la funzione cos(x) è pari. Sono sicuro che se provi a tracciare il grafico di cos(x) nell'intervallo [-1,1] riesci a vedere immediatamente quello che ho affermato.
Le funzioni da y4 in poi invece lavorano su intervalli all'interno dei quali la funzione coseno è monotona decrescente e quindi l'intervallo immagine è dato semplicemente dalla trasformazione attraverso il coseno degli estremi. Attenzione che essendo la funzione decrescente se x1
Ciao, by Claudio
si avevo già graficato hai perfettamente ragione resta solo da dimostrare questa convergenza al divergere del numero dei coseni in modo rigoroso perche' avviene(anche in matlab si vede);tra l'altro voglio proprio vedere che succede se invece di x si mette una f(x) del tipo cos(cos(cos(cos(cos(...cos(f(x)))))) in quali casi converge e in quali no al divergere del numero dei coseni.Al tutto ci ragiono tra una settimanella purtroppo perche' ho un esame.ciao
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