Cos'è l'"o piccolo" nella formula di Taylor
Salve, ho da poco completato il programma di analisi per l'esame, l'ultimo argomento è la formula di Taylor. Nel libro non se ne parla, ma ovunque, guardando gli esercizi svolti, vedo che dopo $...f^(n)(x)/n_!(x-x_0)^n$ vi è un $o(x^n)$. Ho scoperto chiamarsi Resto di Peano, ma non saprei come utilizzarlo. Potreste, per favore, farmi qualche esempio semplice (o una breve spiegazione, va bene comunque)? Vi ringrazio in anTicipo!
Risposte
Quel simbolo si chiama "o piccolo" di Landau. In ogni caso, che libro hai? Dubito che esista un libro di analisi (degno di essere considerato tale) in cui non si parla delle serie di McLaurin o meno in generale di quelle di Taylor. Sono una delle basi dell'analisi infinitesimale e sono essenziali nel calcolo numerico. Per capire a cosa serve quel simbolo dovresti prima capire cosa sono queste serie.
"Berationalgetreal":
Quel simbolo si chiama "o piccolo" di Landau. In ogni caso, che libro hai? Dubito che esista un libro di analisi (degno di essere considerato tale) in cui non si parla delle serie di McLaurin o meno in generale di quelle di Taylor. Sono una delle basi dell'analisi infinitesimale e sono essenziali nel calcolo numerico. Per capire a cosa serve quel simbolo dovresti prima capire cosa sono queste serie.
Purtroppo non li cita. Il libro è:
Enrico Giusti - Elementi di analisi matematica, 2008, bollati boringhieri
Sul Giusti (almeno su quello vecchio che ho io) ci sono le formule di Taylor, sia con il resto di Peano sia col resto di Lagrange... Mi pare strano che sulla nuova edizione non ci sia niente.
Ad ogni buon conto, il fatto che il resto della formula di Taylor d'ordine $n$ sia un infinitesimo d'ordine superiore alla potenza $n$-esima del binomio $x-x_0$ in $x_0$ è la tesi del teorema su cui si basa l'utilizzo della formula.
Ad ogni buon conto, il fatto che il resto della formula di Taylor d'ordine $n$ sia un infinitesimo d'ordine superiore alla potenza $n$-esima del binomio $x-x_0$ in $x_0$ è la tesi del teorema su cui si basa l'utilizzo della formula.
"gugo82":
Sul Giusti (almeno su quello vecchio che ho io) ci sono le formule di Taylor, sia con il resto di Peano sia col resto di Lagrange... Mi pare strano che sulla nuova edizione non ci sia niente.
Ad ogni buon conto, il fatto che il resto della formula di Taylor d'ordine $n$ sia un infinitesimo d'ordine superiore alla potenza $n$-esima del binomio $x-x_0$ in $x_0$ è la tesi del teorema su cui si basa l'utilizzo della formula.
Pur avendo ricontrollato, noto che la mia versione butta giù la formula di Taylor ma non cita alcun resto purtroppo!
Tanto per curiosità... Posteresti l'enunciato del teorema?
"gugo82":
Tanto per curiosità... Posteresti l'enunciato del teorema?
Certamente:
Sia una funzione $f(x)$ derivabile n volte nell'intorno di $x_0$. Esiste un unico polinomio $P_n(x)$ di grado non superiore ad n, tale che:
$Lim_(x->x_0)[f(x)-P_(n)(x)]/(x-xo)^n=0$
Si ha inoltre che
$P_n(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+(f''(x_0))/(2!) (x-x_0)^2+...+f^(n)(x_0)/(n!) (x-x_0)^n$
E qui conclude.
E quindi?
Che ti pare si possa dire, minimo minimo, sulla quantità $f(x)-P_n(x)$?
[N.B.: Questa differenza, che misura la bontà dell'approssimazione della funzione $f$ col polinomio $P_n$ intorno ad $x_0$, si chiama anche resto -o termine complementare- della formula di Taylor.]
Che ti pare si possa dire, minimo minimo, sulla quantità $f(x)-P_n(x)$?
[N.B.: Questa differenza, che misura la bontà dell'approssimazione della funzione $f$ col polinomio $P_n$ intorno ad $x_0$, si chiama anche resto -o termine complementare- della formula di Taylor.]
"gugo82":
E quindi?
Che ti pare si possa dire, minimo minimo, sulla quantità $f(x)-P_n(x)$?
[N.B.: Questa differenza, che misura la bontà dell'approssimazione della funzione $f$ col polinomio $P_n$ intorno ad $x_0$, si chiama anche resto -o termine complementare- della formula di Taylor.]
Ehm... non sono avvezzo a questi indovinelli (al linguistico che ho frequentato io prima dell'università non si studia la teoria, si fanno solo esercizi)... indizi?
FORSE CI SONO: Se $f(x)-P_(n)(x)= 0$ allora $f(x) = P_n(x)$
gugo vuol dire che se quel limite vale zero significa che il numeratore (cioè la differenza tra la funzione e il polinomio di Taylor di quell'ordine ovvero il "resto" della funzione) va a zero più velocemente del denominatore (che è la distanza tra il punto in cui calcoli la funzione e il punto in cui è centrato il polinomio di Taylor elevata a quell'ordine)
"axpgn":
gugo vuol dire che se quel limite vale zero significa che il numeratore (cioè la differenza tra la funzione e il polinomio di Taylor di quell'ordine ovvero il "resto" della funzione) va a zero più velocemente del denominatore (che è la distanza tra il punto in cui calcoli la funzione e il punto in cui è centrato il polinomio di Taylor elevata a quell'ordine)
Esatto.
Sotto c'è la definizione (o almeno la sua vulgata) del simbolo \(\text{o}\):
si dice che $h(x) = \text{o}(g(x))$ per $x\to x_0$ se e solo se $g(x_0)=0=h(x_0)$ e se:
\[
\lim_{x\to x_0} \frac{h(x)}{g(x)} = 0
\]
(fatte salve tutte le ipotesi che servono a rendere lecita l'idea di passare al limite il rapporto $(h(x))/(g(x))$).
Nel tuo caso, il teorema citato ti assicura che la $h(x)=f(x)-P_n(x)$ è un "o-piccolo" di $g(x)=(x-x_0)^n$ per $x\to x_0$, cioè che:
\[
f(x)-P_n(x)=\text{o}\left( (x-x_0)^n\right)\; ,
\]
da cui segue la formula:
\[
f(x) = P_n(x) + \text{o}\left( (x-x_0)\right)\; ,
\]
detta formula di Taylor con il resto nella forma di Peano, che ti dice che la funzione $f(x)$ si ottiene sommando al polinomio di Taylor d'ordine $n$ $P_n(x)$ un "resto" (cioè $f(x)-P_n(x)$) che è infinitesimo d'ordine superiore ad $n$ rispetto ad $x-x_0$ per $x\to x_0$.
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