Cosa vuol dire "differenziare" il differenziale di un vettore?
Prima di tutto buone feste a tutti!
Ho un dubbio...
LEGENDA : vettori in grassetto
Nella dimostrazione della conservatività delle forze a simmetria centrale, sul mio libro di Fisica Generale è presente questo passaggio:
Poiché il vettore posizione può essere scritto come r=rur, lo spostamento elementare dr può essere ottenuto differenziando la precedente espressione:
dr = dr u + r du
Che vuol dire differenziare un dr (e poi, è giusto chiamare il dr differenziale?)?
Nel capitolo sui vettori il libro fa riferimento solo alla derivazione di vettori (e quindi il dr viene sempre accompagnato dal dt a denominatore, come vuole la notazione di Leibniz)
Il fatto che il risultato ( a meno dei dt a denominatore) sia uguale mi fa pensare che derivazione e differenziazione siano la stessa cosa, o perlomeno funzionino nello stesso modo in questo contesto... Aiutatemi
Ho un dubbio...
LEGENDA : vettori in grassetto
Nella dimostrazione della conservatività delle forze a simmetria centrale, sul mio libro di Fisica Generale è presente questo passaggio:
Poiché il vettore posizione può essere scritto come r=rur, lo spostamento elementare dr può essere ottenuto differenziando la precedente espressione:
dr = dr u + r du
Che vuol dire differenziare un dr (e poi, è giusto chiamare il dr differenziale?)?
Nel capitolo sui vettori il libro fa riferimento solo alla derivazione di vettori (e quindi il dr viene sempre accompagnato dal dt a denominatore, come vuole la notazione di Leibniz)
Il fatto che il risultato ( a meno dei dt a denominatore) sia uguale mi fa pensare che derivazione e differenziazione siano la stessa cosa, o perlomeno funzionino nello stesso modo in questo contesto... Aiutatemi
Risposte
Derivare un vettore o, per meglio dire, una funzione vettoriale di una variabile significa prendere il limite del rapporto incrementale:
\[
\lim_{t \to t_0} \frac{\mathbf{u}(t) - \mathbf{u}(t_0)}{t - t_0}
\]
e ciò si fa calcolando componente per componente.
Se tutto funziona, si ottiene un vettore \(\mathbf{u}^\prime (t_0)\) ed il differenziale di \(\mathbf{u}\) in \(t_0\) è dato da \(\text{d} \mathbf{u} = \mathbf{u}^\prime (t_0)\ \text{d} t\).
Se hai una funzione vettoriale prodotto di uno scalare per un vettore, tipo \(\mathbf{r}(t) = r(t) \mathbf{u}(t)\), la derivata si calcola con le solite regole, adattate al caso vettoriale: in altre parole, hai:
\[
\mathbf{r}^\prime (t) = r^\prime (t) \mathbf{u}(t) + r(t) \mathbf{u}^\prime (t)
\]
e quindi il differenziale di \(\mathbf{r}\) in $t_0$ è:
\[
\text{d} \mathbf{r} = (r^\prime (t_0) \mathbf{u}(t_0) + r(t_0) \mathbf{u}^\prime (t_0))\ \text{d} t = \text{d} r\ \mathbf{u} + r\ \text{d} \mathbf{u}\;.
\]
\[
\lim_{t \to t_0} \frac{\mathbf{u}(t) - \mathbf{u}(t_0)}{t - t_0}
\]
e ciò si fa calcolando componente per componente.
Se tutto funziona, si ottiene un vettore \(\mathbf{u}^\prime (t_0)\) ed il differenziale di \(\mathbf{u}\) in \(t_0\) è dato da \(\text{d} \mathbf{u} = \mathbf{u}^\prime (t_0)\ \text{d} t\).
Se hai una funzione vettoriale prodotto di uno scalare per un vettore, tipo \(\mathbf{r}(t) = r(t) \mathbf{u}(t)\), la derivata si calcola con le solite regole, adattate al caso vettoriale: in altre parole, hai:
\[
\mathbf{r}^\prime (t) = r^\prime (t) \mathbf{u}(t) + r(t) \mathbf{u}^\prime (t)
\]
e quindi il differenziale di \(\mathbf{r}\) in $t_0$ è:
\[
\text{d} \mathbf{r} = (r^\prime (t_0) \mathbf{u}(t_0) + r(t_0) \mathbf{u}^\prime (t_0))\ \text{d} t = \text{d} r\ \mathbf{u} + r\ \text{d} \mathbf{u}\;.
\]
Ahh okok, tutto chiaro ora. Grazie mille
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo