Cosa significa questo simbolo?

[sara4040]

Che significa la funzione ∈ C(R^n). Che significa C(R^n)?

[Zero87]

Letteralmente vuol dire che appartiene alle funzioni continue a valori in $R^n$.
Qualcuno utilizza anche $C^0$ per dire funzioni continue, in analogia al più famoso $C^n$ che indica quelle con derivata $n-$esima continua.

[sara4040]

Ok grazie mille e quindi se è f appartiene C^1(R^n), significa che appartiene alle funzioni continue a valori in R^n ed è differenziabile di 1 grado?

[Emar1]

No. E' più che differenziabile, ha le derivate parziali continue!

[sara4040]

grazie, chiarissimo!

[sapo931]

"Zero87":
Qualcuno utilizza anche $C^0$ per dire funzioni continue

Riguardo a questo, secondo voi è più corretto interpretare $C(RR^n)$ come $C^{0}(RR^n)$ (ovvero insieme delle funzioni continue, senza considerazioni sulle loro derivate) o come $C^1(RR^n)$[nota]In questo caso, suponendo di avere dietro $C^{0}(RR^n)$ come insieme delle funzioni continue[/nota] (come suggerirebbe l'abitudine di indicare $a^1 = a$, anche se qui è puramente notazionale e non indica un "elevamento a potenza"[nota]Inteso per gli insiemi come forma compatta per indicare $n$ prodotti cartesiani per lo stesso insieme, ovvero $A^n = AxxAxxAxxA...xxA$, $n$ volte[/nota]).
Ho trovato entrambe le interpretazioni sia durante lezioni che in vari libri.
Personalmente uso la prima, che mi sembra più corretta e "migliore" come comprensibilità.

[Zero87]

"sapo93":Personalmente uso la prima, che mi sembra più corretta e "migliore" come comprensibilità.

Non credo sia corretta la seconda, pensando poi che indica le funzioni con derivate parziali di primo ordine continue in $RR^n$ ci sarebbe ambiguità.
Inoltre si indicano in generale $C^n(A)$ le funzioni derivabili con derivata $n-$esima (parziale nel caso di più variabili) continua in $A$ e identifica con $n=0$ la derivata zeresima( ), quindi le funzioni continue.