Cosa significa che un teorema è più forte di un altro?
Ciao, mi sono accorto di avere un dubbio sull'uso di quest'espressione.
Ero convinto che si dicesse che se $A \implies B$ allora la condizione A è più forte di B. Ad esempio, l'uniforme continuità è più forte della continuità.
Però ho visto che si dice che "il criterio della radice è più forte di quello del rapporto", ma è il criterio del rapporto a implicare il criterio della radice, no? O ancora che "il teorema di Darboux è più debole del teorema degli zeri".
E in realtà mi sembra anche ragionevole, perché per esempio il criterio della radice si applica in casi dove quello del rapporto fallisce, quindi ha senso che sia "più forte". Dov'è l'errore? Forse sono due usi diversi?
Ero convinto che si dicesse che se $A \implies B$ allora la condizione A è più forte di B. Ad esempio, l'uniforme continuità è più forte della continuità.
Però ho visto che si dice che "il criterio della radice è più forte di quello del rapporto", ma è il criterio del rapporto a implicare il criterio della radice, no? O ancora che "il teorema di Darboux è più debole del teorema degli zeri".
E in realtà mi sembra anche ragionevole, perché per esempio il criterio della radice si applica in casi dove quello del rapporto fallisce, quindi ha senso che sia "più forte". Dov'è l'errore? Forse sono due usi diversi?
Risposte
Credo si possa dire quando hai due teoremi T1 e T2 che condividono la tesi, ma non le ipotesi. Allora T1 è più debole di T2 se le ipotesi di T1 sono più deboli (=non implicano) delle ipotesi di T2.
Ad esempio, se \( f^\prime \) (con \( f \) funzione derivabile della quale non ho voglia di scrivere il dominio) è continua, puoi dire che la sua immagine è connessa. Se non è continua, però, puoi comunque dedurre che la sua immagine è connessa dal fatto che questa funzione è la derivata di un'altra. Per sicurezza, ti dico che non è vero che una funzione derivabile ha derivata continua.
Allo stesso modo, è vero che la serie converge se converge a \( l < 1 \) il rapporto \( \frac{a_{n+1}}{a_n} \) (ancora, i simboli sono ovvi), ma può capitare che converga a \( l < 1 \) solo \( \sqrt[n]{a_n} \) e non \( \frac{a_{n+1}}{a_n} \), e la serie in questo caso converge comunque.
Sì insomma "più forte" sta per "se non funziona questo (=quello forte) non funziona neanche l'altro", e "più debole" sta per "magari non puoi applicare l'altro ma puoi applicare questo (questo=quello debole)".
Ad esempio, se \( f^\prime \) (con \( f \) funzione derivabile della quale non ho voglia di scrivere il dominio) è continua, puoi dire che la sua immagine è connessa. Se non è continua, però, puoi comunque dedurre che la sua immagine è connessa dal fatto che questa funzione è la derivata di un'altra. Per sicurezza, ti dico che non è vero che una funzione derivabile ha derivata continua.
Allo stesso modo, è vero che la serie converge se converge a \( l < 1 \) il rapporto \( \frac{a_{n+1}}{a_n} \) (ancora, i simboli sono ovvi), ma può capitare che converga a \( l < 1 \) solo \( \sqrt[n]{a_n} \) e non \( \frac{a_{n+1}}{a_n} \), e la serie in questo caso converge comunque.
Sì insomma "più forte" sta per "se non funziona questo (=quello forte) non funziona neanche l'altro", e "più debole" sta per "magari non puoi applicare l'altro ma puoi applicare questo (questo=quello debole)".
"marco2132k":
Credo si possa dire quando hai due teoremi T1 e T2 che condividono la tesi, ma non le ipotesi. Allora T1 è più debole di T2 se le ipotesi di T1 sono più deboli (=non implicano) delle ipotesi di T2.
Poiché le ipotesi del criterio della radice non implicano quelle del criterio del rapporto (può esistere il limite della radice ma non quello del rapporto), non dovrei concludere che il criterio della radice è più debole? Ed equivalentemente poiché se esiste il limite del rapporto esiste quello della radice e sono uguali, allora quello del rapporto è più forte (perché le sue ipotesi implicano quelle del criterio della radice). Scusami ma credo di non aver capito
Sul teorema di Darboux[nota]Io ho un altro enunciato, una sorta di teorema di esistenza degli zeri per la derivata di un funzione senza l'ipotesi di continuità.[/nota] invece credo di aver capito. Il primo enunciato richiede la continuità della derivata, il secondo no. Dunque le ipotesi di T1 implicano quelle di T2, ma non vale il viceversa. Quindi T2 (teorema di Darboux) è più debole di T1 (o T1 è più forte di T2).
"marco2132k":
Per sicurezza, ti dico che non è vero che una funzione derivabile ha derivata continua.
Grazie, fa sempre bene ribadirlo
Nella dimostrazione stavo per fare esattamente questo errore 
Io sinceramente non ho mai preso troppo sul serio questa terminologia. Sì, può essere che "forte" e "debole" siano più polisemici di quello che credevi, ma non è così "wow"!
Le ipotesi di Darboux non centrano nulla con quelle del teorema dei valori intermedi. Capita solo che tu puoi applicare Darboux anche quando le ipotesi del teorema dei valori intermedi non reggono.
Grazie, fa sempre bene ribadirlo Nella dimostrazione stavo per fare esattamente questo errore [/quote] Sì, è importante, pensa che un controesempio lo conoscono anche le persone che sono traviate dalla teoria delle categorie. 
"duckside":Il punto è che il criterio della radice funziona sempre, mentre quello del rapporto no!
Poiché le ipotesi del criterio della radice non implicano quelle del criterio del rapporto (può esistere il limite della radice ma non quello del rapporto), non dovrei concludere che il criterio della radice è più debole?
"duckside":Io ho scritto "teorema di Darboux" e mi è uscito questo: https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Darboux. Mi riferisco a quell'enunciato perché non so quello che conosci tu; in caso, per "connesso" intendevo "che soddisfa la proprietà dei valori intermedi".
Sul teorema di Darboux
Le ipotesi di Darboux non centrano nulla con quelle del teorema dei valori intermedi. Capita solo che tu puoi applicare Darboux anche quando le ipotesi del teorema dei valori intermedi non reggono.
"duckside":
[quote="marco2132k"]Per sicurezza, ti dico che non è vero che una funzione derivabile ha derivata continua.
Grazie, fa sempre bene ribadirlo
Nella dimostrazione stavo per fare esattamente questo errore [/quote] Sì, è importante, pensa che un controesempio lo conoscono anche le persone che sono traviate dalla teoria delle categorie.
"marco2132k":
Io sinceramente non ho mai preso troppo sul serio questa terminologia. Sì, può essere che "forte" e "debole" siano più polisemici di quello che credevi, ma non è così "wow"!
Certo, volevo solo capire se ci fosse un significato preciso... (?)
"marco2132k":
Il punto è che il criterio della radice funziona sempre, mentre quello del rapporto no!
Questo mi era chiaro, osservavo (a meno di errori) che se l'interpretazione di "T1 è più debole (forte) di T2" fosse quella da te suggerita, poi dovrei dire che il criterio della radice è più debole di quello del rapporto, che contraddice quello che mi è stato detto a lezione (radice più forte del rapporto).
"marco2132k":
Io ho scritto "teorema di Darboux" e mi è uscito questo: https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Darboux. Mi riferisco a quell'enunciato perché non so quello che conosci tu; in caso, per "connesso" intendevo "che soddisfa la proprietà dei valori intermedi".
Non sapevo che ci fosse un altro teorema sotto quel nome, e per questo non ho specificato l'enunciato. Comunque da una veloce ricerca avevo capito a quale ti riferissi.
"marco2132k":
Le ipotesi di Darboux non centrano nulla con quelle del teorema dei valori intermedi. Capita solo che tu puoi applicare Darboux anche quando le ipotesi del teorema dei valori intermedi non reggono.
Sì, chiaro!
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