Cosa significa che un insieme è...

[smaug1]

Cosa significa che un insieme è intorno di infinito?

Cioè mi è chiaro il fatto che ad esempio l'insieme $U$ è intorno di $x$ (con $x$ vettore) se esiste $B_(\varepsilon) (x) \subset U$

Ma cosa significa che $U$ è intorno di $oo$?

[lordb]

Ciao,
se $U$ è intorno in $RR$ di infinito allora presi $x,y in RR | x
$U=(-oo,x)uu(y,+oo)$

[smaug1]

"lordb":Ciao,
se $U$ è intorno in $RR$ di infinito allora presi $x,y in RR | x
$U=(-oo,x)uu(y,+oo)$

grazie per la risposta, siccome non sono mai sicuro di aver capito, a parole come me lo feresti capire?

[gugo82]

Di solito, un insieme \(U\) si dice intorno di \(\infty\) se esso contiene tutta la regione esterna ad un cerchio di raggio \(r\) sufficientemente grande.

E.g., l'insieme \(\mathbb{R}^2\setminus \overline{B}((1,0);3)\) (che rappresenta la regione esterna al cerchio chiuso di centro \((1,0)\) e raggio \(3\)) è un intorno di \(\infty\) in \(\mathbb{R}^2\).

[smaug1]

Il concetto mi è forse più chiaro, ha senso scrivere che:

$U$ è intorno di $oo$ se $\exists\ M>0 : ||x|| >= M => x \in U$

[ciampax]

Intuizione giusta, ma uso della simbologia errata. Un insieme $U$ è un intorno di infinito se esiste una costante $M>0$ tale che $||x||>M$ per ogni $x\in U$, il che equivale a dire quello che ha detto gugo (dove si può considerare la sfera $B(0,M)$).

Edit: oddio, forse in realtà volevi usare $\forall$ al posto di $\Rightarrow$???

[smaug1]

io avevo apposta scritto $=>$ per dire che vale quello che ho scritto se $x $ appartiene all'insieme, ma è sbagliato

Invece è differente descrivere un punto di accumulazione finito o infinito?

[ciampax]

La definizione di punto di accumulazione una è.
E tu mio giovane padawan a letto andare devi!

P.S.: e mi sa che pure io è meglio che stacco, comincio a delirare!

[smaug1]

cioè un punto $x$ è di accumulazione di un insieme $X$ se per ogni intorno $U$ di $x \in X$, $\exists$ infiniti punti di $U \cup X$ $(\ne 0)$

[smaug1]

cioè un punto $x$ è di accumulazione di un insieme $X$ se per ogni intorno $U$ di $x \in X$, $\exists$ infiniti punti di $U \cup X$ $(\ne x)$


EDIT: si intendevo intersezione

[ciampax]

Meglio definirlo così (per $n$ qualsiasi): un punto $x_0\in RR^n$ è di accumulazione per $A\subset RR^n$ se per ogni intorno $I(x_0)$ di $x_0$ si ha $(I(x_0)\cap A)\setminus\{x_0\}\ne \emptyset$.

Attento perché hai scritto l'unione al posto dell'intersezione.

[smaug1]

Grazie mille davvero!

[PZf]

"ciampax":Intuizione giusta, ma uso della simbologia errata. Un insieme $U$ è un intorno di infinito se esiste una costante $M>0$ tale che $||x||>M$ per ogni $x\in U$, il che equivale a dire quello che ha detto gugo (dove si può considerare la sfera $B(0,M)$).

Edit: oddio, forse in realtà volevi usare $\forall$ al posto di $\Rightarrow$???

Mi viene un grosso dubbio, probabilmente sto commettendo un errore banale da qualche parte e non me ne accorgo.

Secondo questa definizione in $\RR$ l'intervallo aperto \(]2,3[\) mi risulterebbe un intorno di $oo$ infatti scegliendo $M=1$ sarebbe \(||x||>M\ \forall x\in]2,3[\)

"smaug":Il concetto mi è forse più chiaro, ha senso scrivere che:

$U$ è intorno di $oo$ se $\exists\ M>0 : ||x|| >= M => x \in U$

Questa invece mi sembra corretta.

In pratica dice che esiste una palla centrata nell'origine e di raggio $M$ il cui esterno è parte dell'insieme $U$, che si riconduce facilmente alla definizione data da gugo.

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NB: a meno che non abbia capito male io, non è necessario che $U$ sia l'esterno di una palla. $U$ deve solo contenere questi punti esterni senza escludere che $U$ ne possa contenere altri. Se non ho capito male, dato un intorno $U$ di $oo$ in $\RR^2$ anche l'insieme $U\cup(0,0)$ è intorno di $oo$, nonostante contiene l'origine.

[ciampax]

@PZf: mi sa che hai un problemino con le disequazioni e i valori assoluti. Scrivere, ad esempio in $RR$, $|x|>M$ con $M>0$ equivale a scrivere $x<-M$ 0 $x>M$. Per cui $|x|>1$ significa prendere l'unione degli intervalli $(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$.

La definizione che ti sembra corretta cosa vuol dire secondo te? Prova a ragionarci: stai dando, in un certo senso, un criterio per determinare se $x$ sia in $U$, non stai definendo un intorno.

[PZf]

"ciampax":@PZf: mi sa che hai un problemino con le disequazioni e i valori assoluti. Scrivere, ad esempio in $RR$, $|x|>M$ con $M>0$ equivale a scrivere $x<-M$ 0 $x>M$. Per cui $|x|>1$ significa prendere l'unione degli intervalli $(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$.

La definizione che ti sembra corretta cosa vuol dire secondo te? Prova a ragionarci: stai dando, in un certo senso, un criterio per determinare se $x$ sia in $U$, non stai definendo un intorno.

Se non ricordo male le definizioni, dire che $||x||>M$ per ogni $x\in U$, scegliendo \(U=]2,3[\) e $M=1$, significa dire che quando è $21$, che è chiaramente vero.

Se poi vuoi parlare dell'insieme ${x\in\RR|\ |x|>1}$ questo è un discorso diverso e non è ciò che hai scritto.
Ciò che hai scritto è che ogni elemento $x$ di $U$ soddisfa $||x||>M$.

"ciampax":Un insieme $U$ è un intorno di infinito se esiste una costante $M>0$ tale che $||x||>M$ per ogni $x\in U$

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La definizione che sto considerando corretta dice che se $||x||>M$ (vale a dire, $x$ si trova all'esterno della palla centrata nell'origine e di raggio $M$) allora $x$ deve appartenere ad $U$.
In altre parole $U$ contiene l'esterno di una palla centrata nell'origine (e eventualmente altri punti).
Questo corrisponde con la definizione data da gugo.

[ciampax]

?????????? Ma stai scherzando? Ma lo sai come si definisce il valore assoluto? Per favore, pensa bene a quello che dici. La disequazione $|x|>M$ si decompone nelle due seguenti: $x>M$ se $M>0$ e $-x>M$ se $x<0$ (per definizione di valore assoluto). Per cui la soluzione di $|x|>M$ è $x<-M$ o $x>M$ che, come vedi, rappresenta un intorno di infinito.

Cerca di convincerti che stai sbagliando, per favore.

E un'ultima cosa: la definizone di gugo è che un intorno di infinito è esterno ad una palla centrata nell'ordigine e raggio $M$, per cui significa che se $x\in U$ allora $||x||>M$ (che rappresenta, appunto, l'esterno di una palla).

Ora mi viene un dubbio: ma non è che tu confondi maggiore e minore?

[PZf]

Nessuno vuole che tu risolva l'equazione $|x|>M$, non stiamo cercando di costruire l'insieme ${x\in\RR|\ |x|>M}$.

Stiamo dando una definizione di intorno di $oo$.
Dire che $\exists M>0$ tale che $||x||>M=>x\in U$ significa dire che l'esterno della palla di centro l'origine e raggio $M$ è parte di $U$, e ciò definisce correttamente un intorno di $oo$.

Dire che $\exists M$ tale che $||x||>M$ per ogni $x\in U$ significa che scelto un qualunque elemento $x$ di $U$ vale $||x||>M$ e ciò è chiaramente vero se si sceglie \(U=]2,3[\) e $M=1$. Quindi questa definizione non può essere che sbagliata.

Cerca di convincerti che stai sbagliando, per favore.

"ciampax":
E un'ultima cosa: la definizone di gugo è che un intorno di infinito è esterno ad una palla centrata nell'ordigine e raggio $M$, per cui significa che se $x\in U$ allora $||x||>M$ (che rappresenta, appunto, l'esterno di una palla).

Ora mi viene un dubbio: ma non è che tu confondi maggiore e minore?

No, assolutamente. Un intorno di infinito contiene l'esterno di una palla.
Questa tua nuova definizione è ancora sbagliata, infatti \(]2,3[\) è esterno alla palla centrata nell'origine e raggio $1$, quindi dovrebbe essere un intorno di $oo$ (assurdo).

Ora mi viene un dubbio: ma non è che tu confondi $\forall$ e $=>$?

[ciampax]

Vabbé, ci rinuncio. Hai vinto, che ti devo dire? Buona serata!

[PZf]

Spero tu abbia capito l'errore. Comunque si tratta di definizioni piuttosto semplici, non dovresti avere problemi su questo.

[ciampax]

.........guarda, veramente, meglio che la finiamo, ok? Ti ripeto, buona serata e tanta fortuna con la matematica!

[PZf]

Concordo che sia meglio finirla, buona serata e buona fortuna con la matematica anche a te.