Cosa posso concludere sul gradiente di tale funzione?

[Analizzato]

Salve a tutti. Devo studiare la seguente funzione (quindi differenziabilità, limitatezza, punti critici etc etc):

$f(x,y)=|x+y-1|$

che può anche essere riscritta come:

A) $f(x,y)=x+y-1$ SE $x+y-1>0$
B) $f(x,y)=-x-y+1$ SE $x+y-1<0$
C) $f(x,y)=0$ SE $x+y-1=0$

Saltando differenziabilità, continuità, derivabilità e limitatezza, che ho già avuto modo di verificare, mi trovo ora a dover calcolare il gradiente per trovare i punti critici di f(x,y), che è appunto:

Grad(x,y)=(1,1) se mi pongo nel caso A)
Grad(x,y)=(-1,-1) se mi pongo nel caso B)

Il gradiente quindi non si annulla, ma si intuisce (basta anche graficare il tutto su Wolfram...), che i punti di minimo per f(x,y) sono certamente tutti i punti che soddisfano x+y-1=0. Avrei però bisogno di giustificare ciò, tecnicamente: come faccio a dire quindi, in termini matematici (senza l'uso dell'intuizione ), che i punti di minimo per f(x,y) sono i punti che soddisfano x+y-1=0? Grazie mille.

[Gendarmevariante1]

La tua funzione è praticamente l'unione di due semipiani, di conseguenza il luogo dei punti minimi (la retta $x+y-1=0$) è un luogo di punti di non derivabilità. Se quindi adotti i metodi "matematici" per trovare i minimi, tipo la matrice hessiana, non li trovi, perché i due semipiani senza retta sono due aperti e quindi non esistono minimi
Devi semplicemente osservare che la funzione è strettamente positiva in ogni punto del piano eccetto quelli della retta, in cui si annulla: essendo la funzione definita su $RR^2$, questa retta è il luogo dei punti minimi.

Io farei così, ma studio ingegneria, quindi aspetterei che qualcuno che ne capisca davvero ti risponda