Cosa è il limite?
salve a tutti sono nuovo del forum,ho intenzione di iscrivermi all'università e sto studiando un pò di matematica.
nello studiare i limiti,non sono riuscito a capire bene cosa sono e a cosa servono...se qualcuno mi potesse aiutare...sono confuso nel senso che non so il limite se è il valore che assume la funzione oppure è un numero a cui tende la funzione per x che tende ad a ove a è un intorno di x.
chiedo chiarezza grazie
nello studiare i limiti,non sono riuscito a capire bene cosa sono e a cosa servono...se qualcuno mi potesse aiutare...sono confuso nel senso che non so il limite se è il valore che assume la funzione oppure è un numero a cui tende la funzione per x che tende ad a ove a è un intorno di x.
chiedo chiarezza grazie
Risposte
ciao,
se la funzione è continua nel punto allora il limite è anche il valore cha la funzione assume in quel punto.
Più in generale , quando la funzione non è continua , non è così , cioè il limite è quel valore a cui la funzione si avvicina sempre di più man mano che x si avvicina sempre di più a x0.
Ad esempio se la funzione è : y=x+2 , il limite per x che tende a 3 vale 5 : la funzione infatti è continua e il limite coincide con il valore che la funzione assume per x=3 , cioè 5 appunto; man mano che ci si avvicina a 3 il valore della funzione si avvicina sempre di più a 5 ; anzi addirittura in questo caso( funzione continua) 5 è addirittura il valore che la funzione assume in x=3.
Se invece la funzione di cui devi calcolare il limite fosse così definita :
y= x+2 per tutti i valori di x escluso x=3 ; per x=3 definisco che la funzione valga : 35.
Bene anche per questa funzione il limite per x che tende 3 vale 5 ( più mi avvicino a x=3 e più i valori della funzione si avvicinano a 5) ; ma 5 non è certo il valore che la funzione ha in x=3 , perchè tale valore è : 35 ; la funzione è detta discontinua in x=3.
Spero di non averti confuso di più le idee !
Se vai alla home page di "matematicamente" e poi vai a Appunti di analisi , lì troverai : Limiti: introduzione scheda etc.E' molto ben fatto anche se è pensato per studenti di università.
Se hai bisogno fatti sentire .
Che facoltà hai scelto ?
ciao
Camillo
Modificato da - camillo il 13/09/2003 13:31:50
se la funzione è continua nel punto allora il limite è anche il valore cha la funzione assume in quel punto.
Più in generale , quando la funzione non è continua , non è così , cioè il limite è quel valore a cui la funzione si avvicina sempre di più man mano che x si avvicina sempre di più a x0.
Ad esempio se la funzione è : y=x+2 , il limite per x che tende a 3 vale 5 : la funzione infatti è continua e il limite coincide con il valore che la funzione assume per x=3 , cioè 5 appunto; man mano che ci si avvicina a 3 il valore della funzione si avvicina sempre di più a 5 ; anzi addirittura in questo caso( funzione continua) 5 è addirittura il valore che la funzione assume in x=3.
Se invece la funzione di cui devi calcolare il limite fosse così definita :
y= x+2 per tutti i valori di x escluso x=3 ; per x=3 definisco che la funzione valga : 35.
Bene anche per questa funzione il limite per x che tende 3 vale 5 ( più mi avvicino a x=3 e più i valori della funzione si avvicinano a 5) ; ma 5 non è certo il valore che la funzione ha in x=3 , perchè tale valore è : 35 ; la funzione è detta discontinua in x=3.
Spero di non averti confuso di più le idee !
Se vai alla home page di "matematicamente" e poi vai a Appunti di analisi , lì troverai : Limiti: introduzione scheda etc.E' molto ben fatto anche se è pensato per studenti di università.
Se hai bisogno fatti sentire .
Che facoltà hai scelto ?
ciao
Camillo
Modificato da - camillo il 13/09/2003 13:31:50
Addirittura la funzione può anche non essere definita nel punto in cui si calcola il limite!
Perfetto, goblyn : mi dai spunto per una ulteriore spiegazione .
Ad esempio se definisco la funzione così :
y=x+2 per x diverso da 3 e non la definisco per niente in x=3
( quindi in questo caso il domino è:(-00 ,3)U(3 , +00)) ,il limite per x che tende a 3 vale 5 e la funzione non è neppur definita in x=3 , ma il limite esiste !
INSOMMA, TRANNE IL CASO CHE LA FUNZIONE SIA CONTINUA NEL PUNTO , IL LIMITE E' SLEGATO DAL VALORE ( EVENTUALE ) CHE FUNZIONE ASSUME NEL PUNTO IN QUESTIONE.
ciao
Camillo
Ad esempio se definisco la funzione così :
y=x+2 per x diverso da 3 e non la definisco per niente in x=3
( quindi in questo caso il domino è:(-00 ,3)U(3 , +00)) ,il limite per x che tende a 3 vale 5 e la funzione non è neppur definita in x=3 , ma il limite esiste !
INSOMMA, TRANNE IL CASO CHE LA FUNZIONE SIA CONTINUA NEL PUNTO , IL LIMITE E' SLEGATO DAL VALORE ( EVENTUALE ) CHE FUNZIONE ASSUME NEL PUNTO IN QUESTIONE.
ciao
Camillo
Volevo aggiungere che si può calcolare li limite "destro" o "sinitro" cioè per x decrescenti o crescenti, faccio subito un esempio, il solito y=x+2
posso studiare il valore che assume y per x che tende a 3+ o a 3-, cioè nel primo caso (3+) con valori di x>3 (immaginiamo 3,000...1 scritta scorrettissima dal punto di vista matematico), nel secondo caso (3-) con valori di x sempre minori di 3 (immaginiamo 2,9999...9). Ovviamente questi due limiti possono essere differenti!
Esempio y=x+2 per x>3 e y=x-2 per x<3 (per x=3 non definita)
limite per x che tende a 3+ è 5 ma il limite per x che tende a 3- è 1.
Di solito queste curiosità si trovano in funzioni con il modulo.
WonderP.
P.S. solitamente il "+" e il "-" si scrivono in apice.
posso studiare il valore che assume y per x che tende a 3+ o a 3-, cioè nel primo caso (3+) con valori di x>3 (immaginiamo 3,000...1 scritta scorrettissima dal punto di vista matematico), nel secondo caso (3-) con valori di x sempre minori di 3 (immaginiamo 2,9999...9). Ovviamente questi due limiti possono essere differenti!
Esempio y=x+2 per x>3 e y=x-2 per x<3 (per x=3 non definita)
limite per x che tende a 3+ è 5 ma il limite per x che tende a 3- è 1.
Di solito queste curiosità si trovano in funzioni con il modulo.
WonderP.
P.S. solitamente il "+" e il "-" si scrivono in apice.
Ne approfitto e aggiungo un altro esempio sul limite destro e sinistro, piuttosto significativo.
Consideriamo la funzione : y= 1/(x-2). Qui le cose cambiano profondamente se si cerca il limite destro oppure sinistro per x che tende a :2.
Prima di tutto possiamo dire che la funzione non è definita per x= 2 : infatti l'espressione :1/0 non ha nessun significato.
Ha invece significato cercare il limite per x che tende a 2+ e a 2-.
Per x che tende a 2+( cioè per valori maggiori di 2 ) il denominatore tende a : 0, ma è 0+ e quindi la funzione tenderà a + 00( + infinito) : ok ?
Per x che tende a 2- la frazione tende a 0- e la funzione tenderà a
-00.
Mi piacerebbe sapere se ti abbiamo confuso le idee o se invece ..
ciao
Camillo
Consideriamo la funzione : y= 1/(x-2). Qui le cose cambiano profondamente se si cerca il limite destro oppure sinistro per x che tende a :2.
Prima di tutto possiamo dire che la funzione non è definita per x= 2 : infatti l'espressione :1/0 non ha nessun significato.
Ha invece significato cercare il limite per x che tende a 2+ e a 2-.
Per x che tende a 2+( cioè per valori maggiori di 2 ) il denominatore tende a : 0, ma è 0+ e quindi la funzione tenderà a + 00( + infinito) : ok ?
Per x che tende a 2- la frazione tende a 0- e la funzione tenderà a
-00.
Mi piacerebbe sapere se ti abbiamo confuso le idee o se invece ..
ciao
Camillo
Ciao a tutti scusatemi,ma questo fine settimana sono stato fuori;
veniamo al caso y=x+2
il limte vale 5 ed ho anche capito perchè;
la funzione è continua perchè il limte corrisponde al valore della funzione per x che tende a 3
ovvero y vale 5 per x che tende a 3 e/o per x che vale 3.
ora cosa significa ciò che ha detto camillo?
ovvero y=x+2 ;per x=3 definisco che la funzione valga 35 ?
è solo un esempio certo non ti riferivi alla funzione in questione?
perchè per x=3 essa non vale 5?
o forse ho dimenticato di fare quel che si chiama insieme di definizione della funzione?
una volta capito cosa è il limite proverò a spiegarne l'utilità...ma ora è presto
aspetto prima le vostre risposte.
grazie goblyn,wonder,camillo
per Camillo
ho intenzione di iscrivermi ad ingegneria elettronica tramite i corsi a distanza
del consorzio nettuno dell'università la sapienza di roma.
Modificato da - verdelli il 15/09/2003 11:52:00
veniamo al caso y=x+2
il limte vale 5 ed ho anche capito perchè;
la funzione è continua perchè il limte corrisponde al valore della funzione per x che tende a 3
ovvero y vale 5 per x che tende a 3 e/o per x che vale 3.
ora cosa significa ciò che ha detto camillo?
ovvero y=x+2 ;per x=3 definisco che la funzione valga 35 ?
è solo un esempio certo non ti riferivi alla funzione in questione?
perchè per x=3 essa non vale 5?
o forse ho dimenticato di fare quel che si chiama insieme di definizione della funzione?
una volta capito cosa è il limite proverò a spiegarne l'utilità...ma ora è presto
aspetto prima le vostre risposte.
grazie goblyn,wonder,camillo
per Camillo
ho intenzione di iscrivermi ad ingegneria elettronica tramite i corsi a distanza
del consorzio nettuno dell'università la sapienza di roma.
Modificato da - verdelli il 15/09/2003 11:52:00
Era un altro esempio .
Volevo definire un'altra funzione( simile alla precedente, ma non certo uguale ) e precisamente così :
y = x+2 per tutti i valori di x eccetto che per x=3
per x= 3 fisso che valga 35 .
Allora in questo caso ancora il limite della funzione per x che tende a 3 vale sempre 5 ; ma il valore della funzione per x=3 non è certo 5 ma vale 35( come è stato specificato nella definizione della funzione ).
Attenzione il concetto di funzione è molto ampio : basta che sia definita una corrispondenza qualsiasi tra la variabile indipendente x e la variabila dipendente y e che a ogni valore della x corrisponda uno e un sol valore della y.
Capisco la tua difficoltà che deriva dal fatto che al liceo le funzioni vengono solo definite da una unica espressione : ad es.:
y= 3*x^2 + sen x -x
Pensa ad una definizione già più complessa e sempre valida come :
y= 1 per x>1
y= x per 1>=x>=0
Y= - x^2 per x<0.
Attenzione è un'unica funzione e non tre funzioni : ho dovuto spezzare in tre parti la rappresentazione della funzione , ma la funzione è una sola .
per rappresentarla meglio avrei dovuto raccogliere le tre righe sotto una unica parentesi graffa.
Prova a disegnare quella funzione ( non è difficile ) e prova a calcolare i limiti per x che tende a 0 e a 1 ; la funzione è continua ?
ciao
Camillo
Volevo definire un'altra funzione( simile alla precedente, ma non certo uguale ) e precisamente così :
y = x+2 per tutti i valori di x eccetto che per x=3
per x= 3 fisso che valga 35 .
Allora in questo caso ancora il limite della funzione per x che tende a 3 vale sempre 5 ; ma il valore della funzione per x=3 non è certo 5 ma vale 35( come è stato specificato nella definizione della funzione ).
Attenzione il concetto di funzione è molto ampio : basta che sia definita una corrispondenza qualsiasi tra la variabile indipendente x e la variabila dipendente y e che a ogni valore della x corrisponda uno e un sol valore della y.
Capisco la tua difficoltà che deriva dal fatto che al liceo le funzioni vengono solo definite da una unica espressione : ad es.:
y= 3*x^2 + sen x -x
Pensa ad una definizione già più complessa e sempre valida come :
y= 1 per x>1
y= x per 1>=x>=0
Y= - x^2 per x<0.
Attenzione è un'unica funzione e non tre funzioni : ho dovuto spezzare in tre parti la rappresentazione della funzione , ma la funzione è una sola .
per rappresentarla meglio avrei dovuto raccogliere le tre righe sotto una unica parentesi graffa.
Prova a disegnare quella funzione ( non è difficile ) e prova a calcolare i limiti per x che tende a 0 e a 1 ; la funzione è continua ?
ciao
Camillo
scusami camillo ma penso di affrontare uno dei passi + importanti dello studio della funzione,per cui devo capire.
y=x+2
ora cosa vui dire con fisso che per x=3 la funzione vale 35?
questa è un'equazione in cui la x sommata alla costante 2 ci da la y che in questo caso vale 5?
mentre scrivo mi viene in mente una cosa;
per caso il fatto che tu definisci la y=35 per x=3 per caso non vuol dire che la funzione non è lineare..e l'equazione di cui sopra non è valida per quel valore?
ti chiedo scusa se ho scritto una cosa banale
ciao
y=x+2
ora cosa vui dire con fisso che per x=3 la funzione vale 35?
questa è un'equazione in cui la x sommata alla costante 2 ci da la y che in questo caso vale 5?
mentre scrivo mi viene in mente una cosa;
per caso il fatto che tu definisci la y=35 per x=3 per caso non vuol dire che la funzione non è lineare..e l'equazione di cui sopra non è valida per quel valore?
ti chiedo scusa se ho scritto una cosa banale
ciao
Dunque vuol dire che io ho specificato la funzione da studiare in un certo modo : ho indicato che la funzione è: y=x+2 per tutti i valori di x tranne che per x=2 ; per questo valore ho specificato che la y vale : 35.
Si, per quel valore ( x=2) non vale quella relazione lineare y=x+2.
Un altro esempio di funzione definita in un modo più complesso del solito:
y= x per x>0
y= sen x per x<0
attenzione è una unica funzione !
oppure Y= X+2 PER X>=0
Y=X+1 PER X<0
E' SEMPRE UNA SOLA FUNZIONE : E' CONTINUA ?
CIAO
Camillo
Si, per quel valore ( x=2) non vale quella relazione lineare y=x+2.
Un altro esempio di funzione definita in un modo più complesso del solito:
y= x per x>0
y= sen x per x<0
attenzione è una unica funzione !
oppure Y= X+2 PER X>=0
Y=X+1 PER X<0
E' SEMPRE UNA SOLA FUNZIONE : E' CONTINUA ?
CIAO
Camillo
allora quella di prima mi viene così
per x compreso tra 0 e 1 y=x
graficamente viene una retta che parte dall'origine e va fino al punto y=x=1 poi diventa costante e vale 1 per qualsiasi valore di x >1
mentre per x minore di zero è un esponenziale e per esempio nel punto x=-1 y=-1
lim = 0
x-->0
lim =1
x-->1
la funzione è continua.la motivazione che dò è dovuta al fatto che il limite coincide con il valore della funzione nei due punti citati ovvero 1 e 0.
spero di non aver detto cose inesatte
grazie
Modificato da - verdelli il 15/09/2003 22:33:48
Modificato da - verdelli il 15/09/2003 22:34:52
Modificato da - verdelli il 15/09/2003 22:36:59
per x compreso tra 0 e 1 y=x
graficamente viene una retta che parte dall'origine e va fino al punto y=x=1 poi diventa costante e vale 1 per qualsiasi valore di x >1
mentre per x minore di zero è un esponenziale e per esempio nel punto x=-1 y=-1
lim = 0
x-->0
lim =1
x-->1
la funzione è continua.la motivazione che dò è dovuta al fatto che il limite coincide con il valore della funzione nei due punti citati ovvero 1 e 0.
spero di non aver detto cose inesatte
grazie
Modificato da - verdelli il 15/09/2003 22:33:48
Modificato da - verdelli il 15/09/2003 22:34:52
Modificato da - verdelli il 15/09/2003 22:36:59
Ciao,
voglio fare un passo avanti nella spiegazione sui limiti e dare la definizione preciso di limite di
una funzione .
Premessa : sia f(x) una funzione a un sol valore definita in tutto l'intervallo T e sia poi x0 un
punto qualsiasi di T .
Può accadere che per valore di x molto vicini ad x0, i corrispondenti valori della funzione
differiscano molto poco da un numero l (elle) e che la differenza possa rendersi piccola a piacere
purchè si prenda x opportunamente vicino ad x0 .
Allora si dice che la funzione ha come limite l, per x che tende a x0 e si scrive limite per x che
tende a x0 di f(x) = l.
Ecco la definizione :
Si dice che è :
limite per x che tende a x0 di f(x) = l
quando , prefissato ad arbitrio un numero epsilon >0 , è possibile determinare in corrispondenza un
numero delta(epsilon) >0 tale che per tutti gli x di T soddisfacenti alla condizione :
0<|x-x0|< delta(epsilon),
risulti:
|f(x)- l| < epsilon.
Le ultime due diseguaglianze equivalgono a scrivere :
l-epsilon< f(x)< l+epsilon,
per :
x0-delta(epsilon) < x < x0+delta(epsilon), con x diverso da x0.
Nota . Poichè si è scritto : 0<|x-x0|
definizione di limite non si tiene alcun conto dell'eventuale valore di f(x) in x0 : nel punto x0
la funzione può non essere definita o, essendolo ,può assumere qualsiasi valore .
Quindi in sintesi :
*fisso epsilon come voglio io
* se riesco a trovare un delta(epsilon) tale che per qualunque x nell'intervallo :
(x0-delta(epsilon),x0+delta(epsilon) ) il valore della funzione differisca da l meno di epsilon,
allora l è proprio il limite per x ....etc.
Se fai un disegno, vedrai che è più chiaro: io purtroppo non so come fare ad inserirli.
delta(epsilon): epsilon andrebbe messo come pedice di delta , ma non riesco.
Naturalmente in generale al variare di epsilon, varia anche delta(epsilon); delta è quindi funzione
di epsilon.
Proviamo con un esempio:
Verificare, applicando la definizione , che il limite per x che tende a 2 di : 2x+3 vale :7.
Fisso epsilon >0 : devo riuscire a trovare un delta ( epsilon) tale che etc.
Applico la definizione di limite :se è vero che 7 è il limite allora deve essere :
7-epsilon < 2x+3 < 7+epsilon
che si spezza in :
* 7-epsilon< 2x+3 da cui: x > 2-(epsilon/2)
* 7+epsilon > 2x+3 da cui : x< 2+(epsilon/2)
quindi : 2-(epsilon/2)
delta( epsilon) è uguale a : epsilon/2 .
Quindi fissato epsilon >0 trovo un intorno di 2 ( 2-(epsilon/2) , 2+(epsilon/2) ) per tutti i punti
del quale il valore della f(x) si discosta da 7 meno di epsilon .
Allora è propio vero che 7 è il limite etc..
Epsilon è arbitrario e per qualunque epsilon si trova che l'intorno esiste ed è dato da vedi sopra
....e se epsilon diventa molto piccolo, allora anche l'intorno è molto piccolo, cioè molto vicino
ad x0=2, e la funzione si avvicina molto al valore l .
Proviamo ad assegnare ad epsilon un valore numerico, ad es. : 0.01; allora con facili calcoli si
vede che l'intorno di 2 è :
( 1.995 , 2.005); quindi per ogni valore di x compreso nell'intorno di 2 indicato , il valore
della funzione : 2x+3, differirà da 7 di meno di epsilon.
Proviamo ad assegnare ad x un valore dell'intorno: ad es. : 2.004 e vediamo cosa vale la funzione :
7.008 che infatti differisce da 7 di : 0.008 che è minore di 0.01( =epsilon).
Per ora credo che basti !
ciao
Camillo
P.S. se le videolezioni di Analisi I sono tenute dal prof.Barozzi allora sono eccellenti e
chiarissime.
Poi ti rispondo ai limiti che hai calcolato.
voglio fare un passo avanti nella spiegazione sui limiti e dare la definizione preciso di limite di
una funzione .
Premessa : sia f(x) una funzione a un sol valore definita in tutto l'intervallo T e sia poi x0 un
punto qualsiasi di T .
Può accadere che per valore di x molto vicini ad x0, i corrispondenti valori della funzione
differiscano molto poco da un numero l (elle) e che la differenza possa rendersi piccola a piacere
purchè si prenda x opportunamente vicino ad x0 .
Allora si dice che la funzione ha come limite l, per x che tende a x0 e si scrive limite per x che
tende a x0 di f(x) = l.
Ecco la definizione :
Si dice che è :
limite per x che tende a x0 di f(x) = l
quando , prefissato ad arbitrio un numero epsilon >0 , è possibile determinare in corrispondenza un
numero delta(epsilon) >0 tale che per tutti gli x di T soddisfacenti alla condizione :
0<|x-x0|< delta(epsilon),
risulti:
|f(x)- l| < epsilon.
Le ultime due diseguaglianze equivalgono a scrivere :
l-epsilon< f(x)< l+epsilon,
per :
x0-delta(epsilon) < x < x0+delta(epsilon), con x diverso da x0.
Nota . Poichè si è scritto : 0<|x-x0|
definizione di limite non si tiene alcun conto dell'eventuale valore di f(x) in x0 : nel punto x0
la funzione può non essere definita o, essendolo ,può assumere qualsiasi valore .
Quindi in sintesi :
*fisso epsilon come voglio io
* se riesco a trovare un delta(epsilon) tale che per qualunque x nell'intervallo :
(x0-delta(epsilon),x0+delta(epsilon) ) il valore della funzione differisca da l meno di epsilon,
allora l è proprio il limite per x ....etc.
Se fai un disegno, vedrai che è più chiaro: io purtroppo non so come fare ad inserirli.
delta(epsilon): epsilon andrebbe messo come pedice di delta , ma non riesco.
Naturalmente in generale al variare di epsilon, varia anche delta(epsilon); delta è quindi funzione
di epsilon.
Proviamo con un esempio:
Verificare, applicando la definizione , che il limite per x che tende a 2 di : 2x+3 vale :7.
Fisso epsilon >0 : devo riuscire a trovare un delta ( epsilon) tale che etc.
Applico la definizione di limite :se è vero che 7 è il limite allora deve essere :
7-epsilon < 2x+3 < 7+epsilon
che si spezza in :
* 7-epsilon< 2x+3 da cui: x > 2-(epsilon/2)
* 7+epsilon > 2x+3 da cui : x< 2+(epsilon/2)
quindi : 2-(epsilon/2)
delta( epsilon) è uguale a : epsilon/2 .
Quindi fissato epsilon >0 trovo un intorno di 2 ( 2-(epsilon/2) , 2+(epsilon/2) ) per tutti i punti
del quale il valore della f(x) si discosta da 7 meno di epsilon .
Allora è propio vero che 7 è il limite etc..
Epsilon è arbitrario e per qualunque epsilon si trova che l'intorno esiste ed è dato da vedi sopra
....e se epsilon diventa molto piccolo, allora anche l'intorno è molto piccolo, cioè molto vicino
ad x0=2, e la funzione si avvicina molto al valore l .
Proviamo ad assegnare ad epsilon un valore numerico, ad es. : 0.01; allora con facili calcoli si
vede che l'intorno di 2 è :
( 1.995 , 2.005); quindi per ogni valore di x compreso nell'intorno di 2 indicato , il valore
della funzione : 2x+3, differirà da 7 di meno di epsilon.
Proviamo ad assegnare ad x un valore dell'intorno: ad es. : 2.004 e vediamo cosa vale la funzione :
7.008 che infatti differisce da 7 di : 0.008 che è minore di 0.01( =epsilon).
Per ora credo che basti !
ciao
Camillo
P.S. se le videolezioni di Analisi I sono tenute dal prof.Barozzi allora sono eccellenti e
chiarissime.
Poi ti rispondo ai limiti che hai calcolato.
Esatto quanto dici: la funzione è continua.
Attenzione per x<0 la funzione è una parabola ( si definisce
esponenziale se è del tipo : y= a^x).
In modo più formale puoi dire che
dalla definizione della funzione si deduce che :
y(1) = 1
ed anche che y(0)= 0 .
Inoltre : limite per x che tende a 0- è : 0 e inoltre limite per x
che tende a 1+ è ovviamente 1.
Quindi la funzione è continua in tutto il suo campo di esistenza
(-00, +00).
E , non so se l'hai gia' studiato , ma la funzione sopraindicata è
derivabile ?
ciao
Camillo
Attenzione per x<0 la funzione è una parabola ( si definisce
esponenziale se è del tipo : y= a^x).
In modo più formale puoi dire che
dalla definizione della funzione si deduce che :
y(1) = 1
ed anche che y(0)= 0 .
Inoltre : limite per x che tende a 0- è : 0 e inoltre limite per x
che tende a 1+ è ovviamente 1.
Quindi la funzione è continua in tutto il suo campo di esistenza
(-00, +00).
E , non so se l'hai gia' studiato , ma la funzione sopraindicata è
derivabile ?
ciao
Camillo
Vorrei svolgere un altro esercizio sui limiti un po' più complicato
dei precedenti : il mio scopo è di far capire meglio la definizione
di limite , che se non difficilissima , è però assai delicata.
Verificare, tramite l'uso della definizione che :
limite per x che tende a 0 di : (x-2)/(x-1) = 2.
Si tratta di vedere se, fissato epsilon > 0 , è possibile trovare un
intorno di 0 , di ampiezza delta tale
che per qualunque x appartenente a questo intorno ( escluso al più il
punto x=0) si abbia :
|[( x-2)/(x-1)]- 2|< epsilon; da qui in avanti per semplicità
indicherò nelle formule epsilon come ep.
Trasformiamo la relazione in due disequazioni equivalenti :
2-ep < (x-2)/(x-1) < 2+ep che a sua volta si spezza nelle due
disequazioni :
* (x-2)/(x-1) > 2-ep da cui : ((ep-1)x-ep)/(x-1) > 0 ; avvicinandosi
x a 0 il denominatore sarà negativo ; quindi la disequazione da
risolvere diventa : (ep-1)x < ep ; attenzione ora che essendo ep
"piccolo" sarà :ep-1 < 0 ;poichè per risolvere la disequazione si
deve dividere per (ep-1) che è negativo , allora la disequazione
cambia verso e si ottiene :
x > ep/(ep-1)
* (x-2)/(x-1) < 2+ ep da cui con analoghe considerazioni si ottiene :
x< ep/(ep+1).
In conclusione si ha :
ep/(ep-1) < x < ep/(ep+1) che è proprio un intorno di x=0.
Infatti il termine a sinistra è negativo e per ep molto piccolo è
molto prossimo a 0; il termine a destra è positivo e per ep piccolo
è pure molto prossimo a 0.
Se ad es. considero ep=0.01 ,ottengo:
- 1/99< x <1/101 .
La verifica è dunque stata positiva ed è quindi vero che per x che
tende a 0 la funzione tende a 2; infatti dato epsilon >0 , si trova
un intorno ( ep/(ep-1) , ep/(ep+1) ) per tutti i punti del quale la
funzione differisce da 2 meno di epsilon.
Ora chiudo: mi piacerebbe sapere se riesci a seguire quanto scrivo e
se ti sembra di una qualche utilità.
ciao
Camillo
Modificato da - camillo il 18/09/2003 17:10:11
dei precedenti : il mio scopo è di far capire meglio la definizione
di limite , che se non difficilissima , è però assai delicata.
Verificare, tramite l'uso della definizione che :
limite per x che tende a 0 di : (x-2)/(x-1) = 2.
Si tratta di vedere se, fissato epsilon > 0 , è possibile trovare un
intorno di 0 , di ampiezza delta tale
che per qualunque x appartenente a questo intorno ( escluso al più il
punto x=0) si abbia :
|[( x-2)/(x-1)]- 2|< epsilon; da qui in avanti per semplicità
indicherò nelle formule epsilon come ep.
Trasformiamo la relazione in due disequazioni equivalenti :
2-ep < (x-2)/(x-1) < 2+ep che a sua volta si spezza nelle due
disequazioni :
* (x-2)/(x-1) > 2-ep da cui : ((ep-1)x-ep)/(x-1) > 0 ; avvicinandosi
x a 0 il denominatore sarà negativo ; quindi la disequazione da
risolvere diventa : (ep-1)x < ep ; attenzione ora che essendo ep
"piccolo" sarà :ep-1 < 0 ;poichè per risolvere la disequazione si
deve dividere per (ep-1) che è negativo , allora la disequazione
cambia verso e si ottiene :
x > ep/(ep-1)
* (x-2)/(x-1) < 2+ ep da cui con analoghe considerazioni si ottiene :
x< ep/(ep+1).
In conclusione si ha :
ep/(ep-1) < x < ep/(ep+1) che è proprio un intorno di x=0.
Infatti il termine a sinistra è negativo e per ep molto piccolo è
molto prossimo a 0; il termine a destra è positivo e per ep piccolo
è pure molto prossimo a 0.
Se ad es. considero ep=0.01 ,ottengo:
- 1/99< x <1/101 .
La verifica è dunque stata positiva ed è quindi vero che per x che
tende a 0 la funzione tende a 2; infatti dato epsilon >0 , si trova
un intorno ( ep/(ep-1) , ep/(ep+1) ) per tutti i punti del quale la
funzione differisce da 2 meno di epsilon.
Ora chiudo: mi piacerebbe sapere se riesci a seguire quanto scrivo e
se ti sembra di una qualche utilità.
ciao
Camillo
Modificato da - camillo il 18/09/2003 17:10:11
Camillo,
nel tuo msg "Posted - 17/09/2003 : 19:18:44" la frase
"... un intorno di 0 , di ampiezza delta epsilon dipendente da epsilon tale che ..."
non sembra coerente col resto del testo (eredita spezzoni di tue definizioni apparse in altri msg).
penso che, a vantaggio della comprensibilità di un argomento delicato, vada semplicemente letta come:
"... un intorno di 0, di ampiezza epsilon tale che ...".
ciao a tutti da
tony, correttore di bozze.
nel tuo msg "Posted - 17/09/2003 : 19:18:44" la frase
"... un intorno di 0 , di ampiezza delta epsilon dipendente da epsilon tale che ..."
non sembra coerente col resto del testo (eredita spezzoni di tue definizioni apparse in altri msg).
penso che, a vantaggio della comprensibilità di un argomento delicato, vada semplicemente letta come:
"... un intorno di 0, di ampiezza epsilon tale che ...".
ciao a tutti da
tony, correttore di bozze.
Grazie, Tony. in realtà deve essere : un intorno di 0 di ampiezza delta .
Ho semplificato così e dovrebbe essere di più facile comprensione.
ciao
Camillo
Ho semplificato così e dovrebbe essere di più facile comprensione.
ciao
Camillo
Propongo un esempio di funzione la cui definizione è data in modo
differente dal solito ( y= f(x) ), ma è un pò' più articolata: questo
nell'intento di chiarire che il concetto di funzione è molto ampio e
i modi per definirla differenti e "liberi".
La funzione è così definita nell'intervallo (-00, +00):
f(x) = max [1,x^2]
max [1,x^2] significa che in ogni punto dell'intervallo si deve
scegliere quella che ha valore maggiore tra : y=1 e y=x^2.
Pertanto f(x) sarà coincidente con :y=x^2 tra: -00 e -1 ; poi tra -1
e +1, f(x) avrà valore :1 ; infine da:1 a +00 la f(x) sarà
coincidente con :y=x^2: nel complesso una specie di parabola col
vertice troncato e appiattito.
E' chiaro che la funzione f(x) vale : 1 in x=1 e x=-1 ed inoltre è :
limite per x che tende a 1+ di f(x)=1 ed è pure limite per x che
tende a -1- di f(x)=1 ; pertanto la funzione f(x) è continua in
tutto il suo insieme di definizione.
La funzione non è invece derivabile nè per x=-1, nè per x=1 ; non
esiste infatti derivata nè in x=-1, nè in x=1 ; esistono però
derivata destra e sinistra ( ma sono differenti) e più precisamente:
in x=-1: derivata sinistra:-2 ; derivata destra: 0,
in x=1 : derivata sinistra: 0 ; derivata destra : 2.
Pertanto x=-1 ed x=1 sono punti angolosi.
Suggerisco a chi legge di fare un grafico della funzione e questo
chiarisce quanto detto sopra.
Ed ora vorrei proporre come curiosità un classico esempio di funzione
"patologica", chiamata di Dirichlet , la cui definizione è la
seguente, limitata all'intervallo [0, 1]:
f(x) = 1 se x è un numero razionale ;
= 0 se x è un numero irrazionale.
Il modo formale per definire la funzione é:
f(x)=1 se x appartiene all'insieme Q intersezione [0,1];
= 0 altrimenti.
[l'insieme Q è l'insieme di tutti i numeri razionali ; intersecandolo
con l'intervallo [0,1] se ne ottengono tutti e soli i numeri
razionali compresi tra 0 e 1 inclusi].Tra 0 e 1 sono infiniti sia i
numeri razionali che quelli irrazionali.
Il grafico di questa funzione non è in alcun modo disegnabile : essa
è discontinua in ogni punto dell'intervallo [0,1].
ciao a tutti
Camillo
differente dal solito ( y= f(x) ), ma è un pò' più articolata: questo
nell'intento di chiarire che il concetto di funzione è molto ampio e
i modi per definirla differenti e "liberi".
La funzione è così definita nell'intervallo (-00, +00):
f(x) = max [1,x^2]
max [1,x^2] significa che in ogni punto dell'intervallo si deve
scegliere quella che ha valore maggiore tra : y=1 e y=x^2.
Pertanto f(x) sarà coincidente con :y=x^2 tra: -00 e -1 ; poi tra -1
e +1, f(x) avrà valore :1 ; infine da:1 a +00 la f(x) sarà
coincidente con :y=x^2: nel complesso una specie di parabola col
vertice troncato e appiattito.
E' chiaro che la funzione f(x) vale : 1 in x=1 e x=-1 ed inoltre è :
limite per x che tende a 1+ di f(x)=1 ed è pure limite per x che
tende a -1- di f(x)=1 ; pertanto la funzione f(x) è continua in
tutto il suo insieme di definizione.
La funzione non è invece derivabile nè per x=-1, nè per x=1 ; non
esiste infatti derivata nè in x=-1, nè in x=1 ; esistono però
derivata destra e sinistra ( ma sono differenti) e più precisamente:
in x=-1: derivata sinistra:-2 ; derivata destra: 0,
in x=1 : derivata sinistra: 0 ; derivata destra : 2.
Pertanto x=-1 ed x=1 sono punti angolosi.
Suggerisco a chi legge di fare un grafico della funzione e questo
chiarisce quanto detto sopra.
Ed ora vorrei proporre come curiosità un classico esempio di funzione
"patologica", chiamata di Dirichlet , la cui definizione è la
seguente, limitata all'intervallo [0, 1]:
f(x) = 1 se x è un numero razionale ;
= 0 se x è un numero irrazionale.
Il modo formale per definire la funzione é:
f(x)=1 se x appartiene all'insieme Q intersezione [0,1];
= 0 altrimenti.
[l'insieme Q è l'insieme di tutti i numeri razionali ; intersecandolo
con l'intervallo [0,1] se ne ottengono tutti e soli i numeri
razionali compresi tra 0 e 1 inclusi].Tra 0 e 1 sono infiniti sia i
numeri razionali che quelli irrazionali.
Il grafico di questa funzione non è in alcun modo disegnabile : essa
è discontinua in ogni punto dell'intervallo [0,1].
ciao a tutti
Camillo
Ciao verdelli,
indigestione da limiti o shock matematico ?
se ti sei ripreso batti un colpo.
Ti sei iscritto all'Università ?
ciao
Camillo
indigestione da limiti o shock matematico ?
se ti sei ripreso batti un colpo.
Ti sei iscritto all'Università ?
ciao
Camillo
ciao Camillo,scusa ma non ci sono stato per lavoro.
comunque mi sono iscritto e sto studiando con le videolezioni di nettuno;matematica 1 con il prof. Barozzi e con il suo testo: primo corso di analisi matematica.
comunque mi sono iscritto e sto studiando con le videolezioni di nettuno;matematica 1 con il prof. Barozzi e con il suo testo: primo corso di analisi matematica.
Bentornato ! Ottime le video lezioni del prof.Barozzi, le avevo registrate a suo tempo quando erano trasmesse di notte su Rai 2 .
E per le esercitazioni come fai ? su Internet ?
Se hai bisogno di chiarimenti, fatti sentire
ciao
Camillo
E per le esercitazioni come fai ? su Internet ?
Se hai bisogno di chiarimenti, fatti sentire
ciao
Camillo
per le esercitazioni non so come fare
magari se puoi indicarmi qualche sito....
non so se posso farcela comunque a me la matematica piace molto e sto ottenendo anche dei buoni risultati con lo studio.
pensa che la scuola che ho fatto io (professionale)non mi ha mai parlato di insiemi numerici di come vengono fuori i diversi insiemi numerici ....roba da farli andare a sturare fogne.......
l'odio verso matematica viene dal cattivo insegnamento di gente che va ad occupare cattedre solo per prendersi i soldi.
Certo uno può dire perchè non andavi allo scientifico....certo che si ma anche in elettrotecnica ed elettronica la matematica fa da padrona.
perchè non la insegnano bene?
scusate ma sono incazzato nero di fronte al grosso lavoro che stò facendo e dovrò fare....ma....ho una consolazione lo faccio per passione....ho un lavoro ma studio copn nettuno al prezzo di 1275 euro all'anno all'università la Sapienza di Roma.
Ho preso ingegneria elettronica.
Camillo a te e a tutti un ringraziamento sin da ora e spero di potervi ringraziare anche dopo aver raggiunto alcuni traguardi.
Per fortuna che ci sono le persona che fanno le cose per passione come voi e come me.
w L'Italia
magari se puoi indicarmi qualche sito....
non so se posso farcela comunque a me la matematica piace molto e sto ottenendo anche dei buoni risultati con lo studio.
pensa che la scuola che ho fatto io (professionale)non mi ha mai parlato di insiemi numerici di come vengono fuori i diversi insiemi numerici ....roba da farli andare a sturare fogne.......
l'odio verso matematica viene dal cattivo insegnamento di gente che va ad occupare cattedre solo per prendersi i soldi.
Certo uno può dire perchè non andavi allo scientifico....certo che si ma anche in elettrotecnica ed elettronica la matematica fa da padrona.
perchè non la insegnano bene?
scusate ma sono incazzato nero di fronte al grosso lavoro che stò facendo e dovrò fare....ma....ho una consolazione lo faccio per passione....ho un lavoro ma studio copn nettuno al prezzo di 1275 euro all'anno all'università la Sapienza di Roma.
Ho preso ingegneria elettronica.
Camillo a te e a tutti un ringraziamento sin da ora e spero di potervi ringraziare anche dopo aver raggiunto alcuni traguardi.
Per fortuna che ci sono le persona che fanno le cose per passione come voi e come me.
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