Cosa chiede il problema del film "A Beautiful Mind"
Buongiorno a tutti. Avete presente questa scena del film "A Beautiful Mind":
http://i45.tinypic.com/2d7fy4o.jpg
Che cosa sta chiedendo? [Non riesco a capire bene quel tipo di notazione].
Ringrazio anticipatamente tutti coloro che saranno così gentili da spiegarmelo.
http://i45.tinypic.com/2d7fy4o.jpg
Che cosa sta chiedendo? [Non riesco a capire bene quel tipo di notazione].
Ringrazio anticipatamente tutti coloro che saranno così gentili da spiegarmelo.
Risposte
Non vorrei dire una sciocchezza ma ho letto in giro che quel "problema" in realtà sono solo scarabocchi senza troppo senso.
Ho visto quel film un anno fa e non avevo fatto in tempo a leggere bene la lavagna XD
Comunque a parte che non so di quale dimensione esattamente stia parlando (ma penso di spazi vettoriali in quanto quegli $V$ e $W$ lo sono, più che altro essendo infinito dimensionali non saprei bene spiegartelo), chiede la dimensione dello spazio quoziente dello spazio dei campi irrotazionali da $R^3->R^3$ (perchè immagino che quel pezzo che manca sia $rotF = 0$) su quello dei campi che sono gradienti di funzioni scalari (ovvero i campi conservativi). Per inciso conservativo implica irrotazionale, ma non vale il viceversa, quindi $W sube V$.
L'unica cosa che non mi spiego bene è perchè tolga un certo insieme $X$ dal dominio di definizione dei campi.
Comunque a parte che non so di quale dimensione esattamente stia parlando (ma penso di spazi vettoriali in quanto quegli $V$ e $W$ lo sono, più che altro essendo infinito dimensionali non saprei bene spiegartelo), chiede la dimensione dello spazio quoziente dello spazio dei campi irrotazionali da $R^3->R^3$ (perchè immagino che quel pezzo che manca sia $rotF = 0$) su quello dei campi che sono gradienti di funzioni scalari (ovvero i campi conservativi). Per inciso conservativo implica irrotazionale, ma non vale il viceversa, quindi $W sube V$.
L'unica cosa che non mi spiego bene è perchè tolga un certo insieme $X$ dal dominio di definizione dei campi.
Quando vidi il film anche io mi sono fatto la stessa domanda. Tra l'altro se non sbaglio quando lui entra in classe ha un libro di calcolo in più variabili (che poi cestinerà 
). Se tutto ciò che dici è vero, e se le formule sono esatte allora che razza di corso è quello!? O.o
). Se tutto ciò che dici è vero, e se le formule sono esatte allora che razza di corso è quello!? O.o
"Paolo90":
aggiungo che si tratta di qualcosa di collegato con questo.
Non vedo esplicitamente il legame [quasi certamente è dovuto alla mia ignoranza al riguardo].
Il legame è piuttosto semplice da capire, più difficile è - probabilmente - capire veramente il problema e tutte le questioni collegate alla coomologia di De Rham.
Di fatto, se prendi il discorso di Giuly19 e lo scrivi non in termini di campi vettoriali, ma in termini duali, ossia di forme differenziali, arrivi esattamente alla costruzione dei gruppi di coomologia (di cui, purtroppo, non so ancora nulla). In breve: campi irrotazionali corrispondono dualmente a forme chiuse, campi gradiente a forme esatte. E' chiaro che esatta implica sempre chiusa (un campo gradiente è sempre irrotazionale) mentre è ben noto che il viceversa non vale sempre ma solo su particolari domini (di solito si prendono aperti stellati, ma l'ipotesi meno restrittiva in assoluto è la semplice connessione).
Più chiaro adesso?
Di fatto, se prendi il discorso di Giuly19 e lo scrivi non in termini di campi vettoriali, ma in termini duali, ossia di forme differenziali, arrivi esattamente alla costruzione dei gruppi di coomologia (di cui, purtroppo, non so ancora nulla). In breve: campi irrotazionali corrispondono dualmente a forme chiuse, campi gradiente a forme esatte. E' chiaro che esatta implica sempre chiusa (un campo gradiente è sempre irrotazionale) mentre è ben noto che il viceversa non vale sempre ma solo su particolari domini (di solito si prendono aperti stellati, ma l'ipotesi meno restrittiva in assoluto è la semplice connessione).
Più chiaro adesso?
"Paolo90":
Più chiaro adesso?
Più o meno [o meno che più]. Io cercavo semplicemente solo qualche suggerimento per capire cosa chiede il problema e soprattutto come risolverlo ma inizio a rendermi conto che molto probabilmente non ho ancora abbastanza conoscenze e preparazione per dedicarmi a tali argomenti: pensavo che bastava solo qualche nozione elementare di analisi vettoriale.
Invece cos'altro bisogna conoscere?
La mia opinione è che si tratta di un problema non banale.
Se vuoi capire il testo del problema, ti bastano certamente le nozioni di un normale corso di Analisi II, insomma l'analisi vettoriale a cui fai riferimento. Ti ha già detto praticamente tutto Giuly19: determinare la dimensione del quoziente campi irrotazionali su campi gradiente definiti su $\RR^3$ meno un certo insieme $X$ (per inciso, penso che tolga questo insieme perché se no il problema sarebbe banale, visto che $RR^3$ è semplicemente connesso...).
Se, invece, vuoi risolvere il problema, penso che non ti bastino le nozioni di Analisi II; lo strumento giusto è, secondo me, proprio la coomologia. Ma non sono affatto ferrato su queste questioni.
Se vuoi capire il testo del problema, ti bastano certamente le nozioni di un normale corso di Analisi II, insomma l'analisi vettoriale a cui fai riferimento. Ti ha già detto praticamente tutto Giuly19: determinare la dimensione del quoziente campi irrotazionali su campi gradiente definiti su $\RR^3$ meno un certo insieme $X$ (per inciso, penso che tolga questo insieme perché se no il problema sarebbe banale, visto che $RR^3$ è semplicemente connesso...).
Se, invece, vuoi risolvere il problema, penso che non ti bastino le nozioni di Analisi II; lo strumento giusto è, secondo me, proprio la coomologia. Ma non sono affatto ferrato su queste questioni.
"Paolo90":
..un certo insieme $X$ (per inciso, penso che tolga questo insieme perché se no il problema sarebbe banale, visto che $RR^3$ è semplicemente connesso...).
Non so come ho fatto a non pensarci, dev'essere per forza così.
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