Cos e sen imperbolici VS $cos z$ , $sin z$
Studiando le relazioni per le relazioni esponenziali nel campo C, ho notato una certa 'somiglianza' se così si può dire su cos e sin imperbolici, ovvero:
$cos ht = (e^t + e^(-t))/2$
$sin ht = (e^t - e^(-t))/2$
mentre:
$cos z = (e^(i *z ) + e^(i *z))/2$
$sin z = (e^(i *z ) + e^(i *z))/(2*i)$
a parte che le seconde rispetto alle prime non si ha un elevamento alla $e^-1$, non vi è nessuna dimostrazione che metta in relazione sin e cos imperbolico con quelli del campo complesso?
Inoltre, $cos z$ e $sin z$ ci è stato dato come definizione, ma non riesco ad immaginarmi la definizione di $cos$ e $sin z$ senza una dimostrazione matematica formale.
qualche suggerimento?
$cos ht = (e^t + e^(-t))/2$
$sin ht = (e^t - e^(-t))/2$
mentre:
$cos z = (e^(i *z ) + e^(i *z))/2$
$sin z = (e^(i *z ) + e^(i *z))/(2*i)$
a parte che le seconde rispetto alle prime non si ha un elevamento alla $e^-1$, non vi è nessuna dimostrazione che metta in relazione sin e cos imperbolico con quelli del campo complesso?
Inoltre, $cos z$ e $sin z$ ci è stato dato come definizione, ma non riesco ad immaginarmi la definizione di $cos$ e $sin z$ senza una dimostrazione matematica formale.
qualche suggerimento?
Risposte
Solo un appunto linguistico: si dice iperbolico, non "imperbolico".
"clever":queste non sono corrette.
$cos z = (e^(i *z ) + e^(i *z))/2$
$sin z = (e^(i *z ) + e^(i *z))/(2*i)$
Le definizioni esatte sono le seguenti:
$cosz= (e^(iz)+e^(-iz))/2$ e $sinz= (e^(iz)-e^(-iz))/(2i)$
Derivano entrambe dalla definizione di esponenziale complesso: $e^(iz)= cosz+ i sinz$
Questo quando $z=x in RR$, come ha scritto gugo nel post successivo
Non capisco che ralazioni cerchi...
Tuttavia è possibile mostrare che, ad esempio, si ha:
\[\begin{split}\sin (x + \imath y) = \sin x \cosh y + \imath \cos x \sinh y \qquad &\text{e} \qquad \cos (x + \imath y) = \cos x \cosh y - \imath \sin x \sinh y \\ \sinh (x+\imath y) = \sinh x \cos y + \imath \cosh x \sin y \qquad &\text{e} \qquad \cosh (x+\imath y) = \cosh x \cos y + \imath \sinh x \sin y\; , \end{split}\]
oppure, con le tue definizioni, si vede che:
\[\begin{split} \cos z =\cosh \imath z \qquad &\text{e} \qquad \sin z =-\imath \sinh \imath z \\ \cosh z= \cos \imath z \qquad &\text{e} \qquad \sinh z = \imath \sin \imath z\; .\end{split}\]
Inoltre il seno e coseno complessi si definiscono a quel modo perchè per \(z=x\in \mathbb{R}\) dagli sviluppi in serie di Taylor segue che:
\[e^{\imath x} =\cos x+\imath \sin x\]
(questa, nota anche come formula di Eulero, l'avresti già dovuta vedere in Analisi II, in relazione alle EDO), sicché:
\[\cos x= \frac{e^{\imath x} +e^{-\imath x}}{2} \qquad \text{e} \qquad \sin x= \frac{e^{\imath x} -e^{-\imath x}}{2\imath} \; .\]
P.S.: Ti sei mangiato due \(-\) nelle definizioni di seno e coseno.
Tuttavia è possibile mostrare che, ad esempio, si ha:
\[\begin{split}\sin (x + \imath y) = \sin x \cosh y + \imath \cos x \sinh y \qquad &\text{e} \qquad \cos (x + \imath y) = \cos x \cosh y - \imath \sin x \sinh y \\ \sinh (x+\imath y) = \sinh x \cos y + \imath \cosh x \sin y \qquad &\text{e} \qquad \cosh (x+\imath y) = \cosh x \cos y + \imath \sinh x \sin y\; , \end{split}\]
oppure, con le tue definizioni, si vede che:
\[\begin{split} \cos z =\cosh \imath z \qquad &\text{e} \qquad \sin z =-\imath \sinh \imath z \\ \cosh z= \cos \imath z \qquad &\text{e} \qquad \sinh z = \imath \sin \imath z\; .\end{split}\]
Inoltre il seno e coseno complessi si definiscono a quel modo perchè per \(z=x\in \mathbb{R}\) dagli sviluppi in serie di Taylor segue che:
\[e^{\imath x} =\cos x+\imath \sin x\]
(questa, nota anche come formula di Eulero, l'avresti già dovuta vedere in Analisi II, in relazione alle EDO), sicché:
\[\cos x= \frac{e^{\imath x} +e^{-\imath x}}{2} \qquad \text{e} \qquad \sin x= \frac{e^{\imath x} -e^{-\imath x}}{2\imath} \; .\]
P.S.: Ti sei mangiato due \(-\) nelle definizioni di seno e coseno.
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