Corrispondenza biunivoca tra i naturali e i quadrati

[tommy_2222]

Come da titolo l'esercizio mi chiede di trovare una corrispondenza biunivoca tra i naturali e i quadrati
Ma non capisco cosa si intende per "quadrati", basterebbe definire una funzione f:A->B tale che a ogni elemento di A associo il suo quadrato in B tipo:
a=1->f(a)=1
a=2->f(a)=4
a=3->f(a)=9
a=4->f(a)=16
e così via?

Poi altra domanda che segue nell'esercizio
Cosa vuol dire insieme potenza?

[Sk_Anonymous]

"tommy_2222":Come da titolo l'esercizio mi chiede di trovare una corrispondenza biunivoca tra i naturali e i quadrati
Ma non capisco cosa si intende per "quadrati", basterebbe definire una funzione f:A->B tale che a ogni elemento di A associo il suo quadrato in B tipo:
a=1->f(a)=1
a=2->f(a)=4
a=3->f(a)=9
a=4->f(a)=16
e così via?
[...]

Mi par di sì. Verifica comunque che si tratti di una biiezione...

"tommy_2222":Poi altra domanda che segue nell'esercizio
Cosa vuol dire insieme potenza?

Insieme delle parti.

[tommy_2222]

Come si fa a vedere se è una biiezione? A me sembra ovvio che ogni naturale abbia in suo quadrato

[jpg]

Credo che basti verificare che la tua funzione sia invertibile.

[_GaS_11]

Ci provo.
Ci deve essere una corrispondenza biunivoca tra i numeri naturali e i loro quadrati. Allora '' $f$ '' dev'essere sia suriettiva che iniettiva.
$AAninNN:f(n)=n^2=>n^2inNN$. Necessariamente.
Sia '' $A$ '' l'insieme dei quadrati di '' $ninNN$ ''. Allora, se consideriamo '' $f:NNrightarrowA$ '' la funzione e' suriettiva.
Affinche' sia iniettiva:
Siano '' $n_1,n_2inNN,n_1!=n_2,n_2>n_1$ '', allora '' $n_2=n_1+a$ '', con '' $ainNN$ ''.
$f(n_1)=(n_1)^2$.
$f(n_2)=f(n_1+a)=(n_1+a)^2=(n_1)^2+2an_1+a^2!=(n_1)^2$.
Quindi la funzione e' iniettiva.
Ne segue, infine, che e' biunivoca, quindi '' $A$ '' e' equipotente a '' $NN$ ''. L'esercizio dovrebbe essere risolto.

[Sk_Anonymous]

"tommy_2222":Come si fa a vedere se è una biiezione? A me sembra ovvio che ogni naturale abbia in suo quadrato

Certo, lo è, ma l'esercizio non si risolve semplicemente dicendo "è ovvio". Ci vuole una verifica formale (come quella di _GaS_, per esempio), purché noiosa e/o facile.

[theras]

[OT ma non troppo]
Dato che alcuni utenti partecipanti a questa discussione son stati attori di un'altra recente,
mi premuro di far notare che la denominazione di insieme potenza data all'insieme delle parti d'un qualunque insieme $A$ non è scollegata dal fatto che quest'ultimo è equipotente a ${0,1}^A$
(e se e per questo neanche al fatto che,fermandoci per ora solo al caso degli insiemi finiti,
si ha $|mathcal(P)(A)|=2^(|A|)$,
come d'altronde discende,
grazie a considerazioni di "altra natura" ma in fondo equivalenti,dal teorema del binomio di Newton..)!
[OT ma non troppo].
Saluti dal web.