Corrispondenza biunivoca fra reali e irrazionali
Ho due esercizi di analisi 1 di cui chiedervi delucidazioni:
1. Sia $E=\{{m^2+n^2-mn}/ {mn}:m,n\in \mathbb N}$ determinare l'estremo inferiore e superiore e specificare se sono massimo e minimo. Per risolverlo ho riscritto l'espressione in $(m-n)^2/{mn} +1$ e ho detto che è il suo valore è minimo quando $(m-n)^2/{mn}$ è minimo. Non può essere negativo perché rapporto di termini positivi quindi al massimo tende a 0, e quindi l'estremo inferiore al minimo potrebbe essere 1: meno di 1 non si può. Mi accorgo anche che l'espressione iniziale si può scrivere in $(m+n)^2/{mn} -3$ e con $m=n=1$ ricavo che l'espressione può effettivamente essere 1 e quindi concludo che 1 è l'estremo inferiore e anche minimo. Per l'estremo superiore ho fatto così: fisso $n=1$ e quindi diventa ${m^2-m+1}/m=m-1+1/m$ e osservo che al crescere di $m$, $1/m$ tende a 0 e quindi l'estremo superiore di E risulta essere $+\infty$ e quindi il massimo non esiste. Così come l'ho fatta va bene?
2. Questo proprio non so dove iniziare: "Fornire esplicitamente una corrispondenza biunivoca fra l’insieme dei numeri
reali e l’insieme dei numeri irrazionali."
1. Sia $E=\{{m^2+n^2-mn}/ {mn}:m,n\in \mathbb N}$ determinare l'estremo inferiore e superiore e specificare se sono massimo e minimo. Per risolverlo ho riscritto l'espressione in $(m-n)^2/{mn} +1$ e ho detto che è il suo valore è minimo quando $(m-n)^2/{mn}$ è minimo. Non può essere negativo perché rapporto di termini positivi quindi al massimo tende a 0, e quindi l'estremo inferiore al minimo potrebbe essere 1: meno di 1 non si può. Mi accorgo anche che l'espressione iniziale si può scrivere in $(m+n)^2/{mn} -3$ e con $m=n=1$ ricavo che l'espressione può effettivamente essere 1 e quindi concludo che 1 è l'estremo inferiore e anche minimo. Per l'estremo superiore ho fatto così: fisso $n=1$ e quindi diventa ${m^2-m+1}/m=m-1+1/m$ e osservo che al crescere di $m$, $1/m$ tende a 0 e quindi l'estremo superiore di E risulta essere $+\infty$ e quindi il massimo non esiste. Così come l'ho fatta va bene?
2. Questo proprio non so dove iniziare: "Fornire esplicitamente una corrispondenza biunivoca fra l’insieme dei numeri
reali e l’insieme dei numeri irrazionali."
Risposte
Per la seconda: non ne sono troppo sicuro ma potrebbe essere utile considerare lo sviluppo in frazione continua degli irrazionali.
Ciao, per il primo punto va bene ma userei la prima strada che hai proposto:
\( \frac{ m^2+n^2 -mn}{mn} = \frac{(m-n)^2}{mn} + 1 \) e noti che
1. \( \frac{(m-n)^2}{mn} \ge 0 \) per ogni \( (m,n) \in \mathbb{N}^2 \) e quindi \( \frac{(m-n)^2}{mn} +1 \ge 1 \) per ogni \( (m,n) \in \mathbb{N}^2 \) e quindi $1$ è un minorante di $E$.
2. $1 \in E$, è sufficiente prendere $n=m=1$.
3. 1.+2. implica che $1$ è il minimo di $E$.
Per il secondo punto dipende dal livello di formalità richiesto e soprattutto se ti è concesso usare i limiti e cose così. Credo che in questo tipo di esercizi il "tende a" non vada manco pensato. Prova, se vuoi, a scrivere il secondo punto senza (cioè usando la definizione di "superiormente illimitato").
Per la seconda domanda: secondo me è il tipico esercizio che o hai visto come si fa almeno una volta (o almeno, qualcosa di simile) o devi essere Cantor per saperlo fare così dal nulla. Ebbene, hai qualche indicazione sul come fare?
\( \frac{ m^2+n^2 -mn}{mn} = \frac{(m-n)^2}{mn} + 1 \) e noti che
1. \( \frac{(m-n)^2}{mn} \ge 0 \) per ogni \( (m,n) \in \mathbb{N}^2 \) e quindi \( \frac{(m-n)^2}{mn} +1 \ge 1 \) per ogni \( (m,n) \in \mathbb{N}^2 \) e quindi $1$ è un minorante di $E$.
2. $1 \in E$, è sufficiente prendere $n=m=1$.
3. 1.+2. implica che $1$ è il minimo di $E$.
Per il secondo punto dipende dal livello di formalità richiesto e soprattutto se ti è concesso usare i limiti e cose così. Credo che in questo tipo di esercizi il "tende a" non vada manco pensato. Prova, se vuoi, a scrivere il secondo punto senza (cioè usando la definizione di "superiormente illimitato").
Per la seconda domanda: secondo me è il tipico esercizio che o hai visto come si fa almeno una volta (o almeno, qualcosa di simile) o devi essere Cantor per saperlo fare così dal nulla. Ebbene, hai qualche indicazione sul come fare?
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