Correzzione verifica su limite

[SirEagle]

Salve a tutti, ho risolto questi due esercizi riguardanti la verifica di un limite e vorrei sapere se siano svolti correttamente:

1. $ lim_(x -> 0^+) e^(2/x) = +oo $
Dato che si tratta di un limite tendente a $ +oo $ devo verificare che $ f(x)>M $, quindi:
$ e^(2/x) > M => ln e^(2/x) > ln M =>2/x lne > lnM => 2/x > lnM => 2/x - lnM > 0 => (2-x(lnM))/x > 0 $
Studio il numeratore:
$ 2-x(lnM)>0 => -x(lnM)> -2 => x < 2/lnM $
Studio il denominatore:
$ x>0 $
Quindi le soluzioni sono:
$ 0 Dato che il limite tende a $ +oo $ prendo in esame solo l'intorno destro ed ho di conseguenza:
$ 0^+<2/lnM $
che è verificato.

2. $ lim_(x -> 1) (x)/(x-1)^2 = +oo $
Opero sempre come prima:
$ (x)/(x-1)^2 > M => (x)/(x-1)^2 - M > 0 =>(x-M(x-1)^2)/(x-1)^2 > 0 $
Studio il numeratore:
$ x-M(x-1)^2 > 0 => x-M(x^2-2x+1)>0 => x-Mx^2+2Mx-M>0 => -Mx^2 +x(2M+1) - M> 0 => Mx^2 -x(2M+1) + M< 0 $
Calcolo le radici del polinomio ponendo M=5;
$ x_(12) = (+11+- sqrt(21))/10 $
Quindi avrò: $ x_(1) = 0.64 $ e $ x_(2) = 1.56 $
Studio il denominatore:
$ x^2-2x+1 > 0 $
da cui ottengo: $ x>1 $
Le soluzioni finali quindi saranno:
$ x < 0.64 uu 1 Dato che il limite tende a $ +oo $ prendo in esame solo l'intorno destro ed ho di conseguenza:
$ 1<1.56 $
che è verificato

[gugo82]

Prima della correttezza dei calcoli, mi preoccuperei della correttezza ortografica.