Correzioni 2°

[Hajra]

ok sempre il stesso discorso, riesci a vedere le foto? scrivo con la matita così per correzioni posso cancellare, però se non si vede nnt da adesso in poi scrivo con la penna, per sicurezza scrivo la funzione qui,

[math]f(x) = x*e^\frac{1}{1-|x|}[/math]

1) quello k ho fatto è giusto?
2) come devo concludere? lo so k mi manca f''(x), non ho fatta xk no lo so se ho fatto bene la la derivata prima.
3) il grafico?

[ciampax]

Dal momento che non leggo molto bene, riscrivo tutto:

DOMINIO:

[math]1-|x|\not =0\ \Rightarrow\ |x|\not= 1\ \Rightarrow\ x=\pm 1[/math]

per cui

[math]D=(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,+\infty)[/math]

SIMMETRIE: abbiamo

[math]f(-x)=-x e^{1/(1-|-x|)}=-x e^{1/(1-|x|)}=-f(x)[/math]

pertanto la funzione è dispari.


INTERSEZIONI E SEGNO: Poiché l'esponenziale è sempre positivo, allora

[math]f(x)>0[/math]

se e solo se

[math]x>0[/math]

. Inoltre il punto

[math]O(0,0)[/math]

è l'unica intersezione possibile.


ASINTOTI: Abbiamo

[math]\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty[/math]

e ancora

[math]m=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\pm\infty} e^{\frac{1}{1-|x|}}=1[/math]

[math]q=\lim_{x\to\pm\infty}\left[x e^{1/{1-|x|}}-x\right]=\lim_{x\to\pm\infty}x\left[e^{1/{1-|x|}}-1\right]=[/math]

posto

[math]t=1/(1-|x|)\to 0^-[/math]

ed essendo

[math]|x|=\frac{t-1}{t}[/math]

da cui

[math]x=\pm\frac{t-1}{t}[/math]

a seconda che x tenda a più o a meno infinito, si ha

[math]=\lim_{t\to 0^-}\pm\frac{t-1}{t}(e^t-1)=\pm\lim_{t\to 0^-}(t-1)\frac{e^t-1}{t}=\mp 1[/math]

e pertanto abbiamo gli asintoti obliqui

[math]y=xx-1[/math]

a destra e

[math]y=x+1[/math]

a sinistra. Inoltre

[math]\lim_{x\to -1^-} f(x)=-1\cdot e^{-\infty}=0^-\\ \lim_{x\to -1^+} f(x)=-1\cdot e^{+\infty}=-\infty\\ \lim_{x\to 1^-} f(x)=1\cdot e^{+\infty}=+\infty\\ \lim_{x\to 1^+} f(x)=1\cdot e^{-\infty}=0^+[/math]

per cui le rette

[math]x=\pm 1[/math]

sono asintoti obliqui.


DERIVATA PRIMA: Scriviamo al funzione come

[math]f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
x e^{\frac{1}{1-x}} & & x\in[0,1)\cup(1,+\infty)\\ x e^{\frac{1}{1+x}} & & x\in(-\infty,-1)\cup(-1,0)
\end{array}\right.[/math]

La derivata prima della prima funzione è

[math]f'(x)=e^{\frac{1}{1-x}}+x e^{\frac{1}{1-x}}\cdot\frac{1}{(1-x)^2}=e^{\frac{1}{1-x}}\left[1+\frac{x}{(1-x)^2}\right][/math]

da cui, con un po' di calcoli

[math]f'(x)=e^{\frac{1}{1-x}}\frac{x^2-x+1}{(1-x)^2}[/math]

Facendo un calcolo simile per l'altro ramo, si ottiene

[math]f'(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
e^{\frac{1}{1-x}}\frac{x^2-x+1}{(1-x)^2} & & x\in[0,1)\cup(1,+\infty)\\ e^{\frac{1}{1+x}}\frac{x^2+x+1}{(1+x)^2} & & x\in(-\infty,-1)\cup(-1,0)
\end{array}\right.[/math]

Per risolvere la disequazione

[math]f'(x)\ge 0[/math]

osserviamo di nuovo che basta concentrarsi sulle frazioni, visto che gli esponenziali sono sempre definiti. Possiamo anche osservare che, avendo i numeratori delle frazioni discriminante negativo, tali numeratori sono sempre positivi, e così anche i denominatori. Possiamo concludere quindi che

[math]f'(x)>0[/math]

su tutto il dominio e che quindi la funzione è sempre crescente.


DERIVATA SECONDA: Derivo di nuovo la prima delle due

[math]f''(x)=e^{\frac{1}{1-x}}\frac{1}{(1-x)^2}\cdot\frac{x^2-x+1}{(1-x)^2}+e^{\frac{1}{1-x}}\frac{(2x-1)(1-x)^2-(x^2-x+1)\cdot 2(1-x)(-1)}{(1-x)^4}=\\ e^{\frac{1}{1-x}}\left[\frac{x^2-x+1}{(1-x)^2}+\frac{2x^3-4x^2+2x-x^2+2x-1+2x^2-2x+2-2x^3+2x^2-2x}{(1-x)^4}\right][/math]

e dopo un po' di semplificazioni

[math]f''(x)=e^{\frac{x}{1-x}}\frac{2-x}{(1-x)^4}[/math]

Finisco dopo!

Aggiunto 1 ora 44 minuti più tardi:

Eccomi tornato: dunque, applicando calcoli simili anche nell'altro caso, troviamo che la derivata seconda diviene

[math]f''(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
e^{\frac{x}{1-x}}\frac{2-x}{(1-x)^4} & & x\in[0,1)\cup(1,+\infty)\\
e^{\frac{x}{1+x}}\frac{-2-x}{(1+x)^4} & & x\in(-\infty,-1)\cup(-1,0)
\end{array}\right.[/math]

A questo punto, la disequazione

[math]f''(x)\ge 0[/math]

equivale al solo studio dei numeratori. Pertanto abbiamo, nel primo caso

[math]2-x\ge 0\ \Rightarrow\ x\le 2[/math]

, mentre nel secondo caso

[math]-2-x\ge 0\ \Rightarrow\ x\le -2[/math]

e pertanto

[math]f(x)[/math]

è convessa su

[math](-\infty,-2)\cup(0,1)\cup(1,2)[/math]

[math]f(x)[/math]

è concava su

[math](-2,-1)\cup(-1,0)\cup(2,+\infty)[/math]

La funzione ammette i due flessi

[math]F_1(-2,-2/e),\ F_2(2,2/e),\ F_3(0,0)[/math]

Ti allego il grafico.