Correzione Sviluppo Mac-Laurin
sviluppare \( \ e^{sen2x} -1 \) fino all'ordine 4.
Io ho tenuto conto degli sviluppi canonici del seno e dell'esponenziale $ e^x $ .
Il risultato è il seguente:
\( 2x- \frac 86x^3+\frac{(2x-\frac{8}{6}x^3)^2}{2} +\frac{(2x-\frac{8}{6}x^3)^3}{6}+\frac{(2x-\frac{8}{6}x^3)^4}{24} \) =
$ 2x-8/6x^3+2x^2-8/3x^4+8/9x^6 $ .
è corretto? e in caso avete suggerimenti per semplificare il risultato? (devo usarlo per calcolare l'ordine di infinitesimo con un'altra funzione quindi più semplificato è meglio è)
grazie mille a chiunque è disponibile per aiutarmi
Io ho tenuto conto degli sviluppi canonici del seno e dell'esponenziale $ e^x $ .
Il risultato è il seguente:
\( 2x- \frac 86x^3+\frac{(2x-\frac{8}{6}x^3)^2}{2} +\frac{(2x-\frac{8}{6}x^3)^3}{6}+\frac{(2x-\frac{8}{6}x^3)^4}{24} \) =
$ 2x-8/6x^3+2x^2-8/3x^4+8/9x^6 $ .
è corretto? e in caso avete suggerimenti per semplificare il risultato? (devo usarlo per calcolare l'ordine di infinitesimo con un'altra funzione quindi più semplificato è meglio è)
grazie mille a chiunque è disponibile per aiutarmi
Risposte
Visto che vuoi sviluppare fino al quarto ordine, puoi man mano cancellare termini non utili. La scelta di arrestare lo sviluppo della funzione seno al terzo ordine è corretta e puoi scrivere così:
$\sin(2x)=2x-{8x^3}/6+o(x^3)=2x-{4x^3}/3+o(x^3)$
Per sviluppare più agevolmente l'esponenziale, piuttosto che portarsi dietro quelle parentesi e doversi fare tutti i conti, io ti consiglio di procedere come segue
$e^{\sin(2x)}=e^{2x-{4x^3}/3+o(x^3)}=e^{2x}\cdot e^{{-4x^3}/3}\cdot e^{o(x^3)}=$
$=(1+2x+2x^2+{4x^3}/3+{2x^4}/3+o(x^4))\cdot(1-{4x^3}/3+o(x^3))\cdot(1+o(x^3))$
dove puoi osservare che tutti gli "o piccoli" contengono potenze superiori all'ordine 4. A questo punto basta moltiplicare tenendo conto che potenze di ordine superiore a 4 vanno eliminate per ottenere
$e^{\sin(2x)}=1+2x+2x^2+{4x^3}/3+{2x^4}/3-{4x^3}/3-{8x^4}/3+o(x^4)=1+2x+2x^2-2x^4+o(x^4)$
e quindi
$e^{\sin(2x)}-1=2x+2x^2-2x^4+o(x^4)$
P.S.: in quello che hai calcolato tu hai sbagliato le potenze terze del binomio, e la potenza di ordine 6 è inutile. Inoltre manca una potenza quarta proveniente dall'ultimo binomio.
$\sin(2x)=2x-{8x^3}/6+o(x^3)=2x-{4x^3}/3+o(x^3)$
Per sviluppare più agevolmente l'esponenziale, piuttosto che portarsi dietro quelle parentesi e doversi fare tutti i conti, io ti consiglio di procedere come segue
$e^{\sin(2x)}=e^{2x-{4x^3}/3+o(x^3)}=e^{2x}\cdot e^{{-4x^3}/3}\cdot e^{o(x^3)}=$
$=(1+2x+2x^2+{4x^3}/3+{2x^4}/3+o(x^4))\cdot(1-{4x^3}/3+o(x^3))\cdot(1+o(x^3))$
dove puoi osservare che tutti gli "o piccoli" contengono potenze superiori all'ordine 4. A questo punto basta moltiplicare tenendo conto che potenze di ordine superiore a 4 vanno eliminate per ottenere
$e^{\sin(2x)}=1+2x+2x^2+{4x^3}/3+{2x^4}/3-{4x^3}/3-{8x^4}/3+o(x^4)=1+2x+2x^2-2x^4+o(x^4)$
e quindi
$e^{\sin(2x)}-1=2x+2x^2-2x^4+o(x^4)$
P.S.: in quello che hai calcolato tu hai sbagliato le potenze terze del binomio, e la potenza di ordine 6 è inutile. Inoltre manca una potenza quarta proveniente dall'ultimo binomio.
Grazie mille dell'aiuto!! effettivamente come ho fatto io venivano dei conti piuttosto contorti!
Comunque, mi è tutto chiaro ciò che mi hai spiegato tranne un dubbio sul perchè $ 2x-8/6x^3 = 2x-4/3x^3 $ e non $ x-4/3x^3 $
Comunque, mi è tutto chiaro ciò che mi hai spiegato tranne un dubbio sul perchè $ 2x-8/6x^3 = 2x-4/3x^3 $ e non $ x-4/3x^3 $
Ehm, ma come le fai le semplificazioni??????
Oh porca miseria ahahahah scusa scusa sono andato a pensare che avessi diviso tutti i termini per due o chissa cosa quando era una semplice semplificazione tra numeratore e denominatore xD
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