Correzione sistema EDO non omogeneo con P.d.C.

[umbe14]

$dx/dt=4x+2y+a$
$dy/dt=2x+4y+b$
per $a=4$ e $b=2$, imporre $x(0)=-1$ e $y(0)=0$.
Ho svolto la forma matriciale, al fine di trovare gli autovalori del sistema omogeneo associato:
$A(\lambda)=|(4-\lambda,2),(2,4-\lambda)|$ $\lambda_(1,2)=2,6$. Per gli autovettori associati:
$A(\lambda_1)=|(2,2),(2,2)|=|(1,1),(1,1)|=|(1,1),(0,0)|$ (ove nell'ultima matrice ho sottratto la prima riga alla seconda) e quindi $x=-y$ da cui $Av(\lambda_1)=[(-1),(1)]$

$A(\lambda_2)=|(-2,2),(2,-2)|=|(1,-1),(1,-1)|=|(1,-1), (0,0)|$ e pertanto si ha $x=y$ da cui $Av(\lambda_2)=[(1),(1)]$
La soluzione generale del sistema sarà dunque (in forma compatta):
$[(x_0),(y_0)]=C_1e^(2t)[(-1),(1)]+C_2e^(6t)[(1),(1)]$.
La particolare invece sarà:
$x_1(t)=-\phi_1e^(2t)+\phi_2e^(6t)$
$x_2(t)=\phi_1e^(2t)+\phi_2e^(6t)$
La cui matrice $B=|(-e^(2t),e^(6t)),(e^(2t),e^(6t)|$ ha come determinante $A=-2e^(8t)$
Quindi, sostituendo $a$ e $b$, si ha $B_1=|(4,e^(6t)),(2,e^(6t))|=2e^(6t)$ e $B_2=|(-e^(2t),4),(e^(2t),2)|=-6^2t$
$\phi_1'=-e^(2t)$ e $\phi_2'=3e^(-6t)$, dunque $\phi_1=-e^(2t)/2$ e $\phi_2=-1/2e^(-6t)$.
Si ha così, la soluzione del sistema:
$x(t)=-C_1e^(2t)+C_2e^(6t)+e^(4t)/2-1/2$
$y(t)=C_1e^(2t)+C_2e^(6t)-e^(4t)/2-1/2$
Imponendo le condizioni richieste dal problema di Cauchy, ottengo:
${C_1-1=C_2$
${C_2=1-C_1$
Da cui si ottiene che $C_1=1$ e $C_2=0$
soluzione finale:
$x(t)=e^(2t)+e^(4t)/2-1/2$
$y(t)=e^(2t)-e^(4t)/2-1/2$
E' corretto?
Ho solo da chiedere delle precisazioni: in pratica ho trattato i sistemi come fossero dei Wronskiani, però non ho funzioni derivate, per cui non sono wronskiani e inoltre non ho $\phi$ derivate, tant'è che all'inizio non avevo integrato i risultati delle due costanti che ho scritto come $\phi'$. Tuttavia ho visto che nelle dispense poi le integrava. Perché?

[dissonance]

Subito si vede che è sbagliato. Infatti, \(y(0)=-1/2\) mentre dovrebbe fare \(0\). Inoltre, \(x(0)=3/2\) mentre dovrebbe fare \(1\).

Invece di postare tutti questi conti, fai una verifica molto più semplice. Prendi carta e penna, oppure un software di calcolo, deriva il risultato e vedi se verifica l'equazione e le condizioni iniziali. Se lo fa, è giusto. Altrimenti è sbagliato. Funziona sempre, anche ad un esame, e non necessita un forum.

[umbe14]

Chiedo scusa, ho elevato a x doveva essere elevato a t. Ho fatto confusione: le due equazioni sono entrambe in $t$. Inoltre, ho riportato male: la prima condizione chiede $x(0)=-1$ e non $x(0)=1$. Ora correggo.