Correzione serie di potenze

[ludwigZero]

Salve, preso dai dubbi posto la serie
studio della convergenza uniforme e totale.


$\sum (-1)^n n/(4^n) (x^2 - 5)^n$

$y = x^2 - 5$

$\sum (-1)^n n/(4^n) y^n$

raggio di convergenza:

$lim_n |(a_(n+1))/(a_n)| = 1/4$ => $\rho = 4$

converge uniformemente in:
$-rho < y < \rho$
ovvero:

$-4 < x^2 - 5 < 4$
$1 < x^2 < 4$
=> converge uniformemente in: $-3
studio agli estremi:

$\rho = 4$ : $\sum (-1)^n n$ DIVERGE

$\rho = -4$ : $\sum n$ DIVERGE

il problema è sempre lì, non riesco a scrivere l'insieme della convergenza totale, io provo:

conv. totalmente in un compatto $[-a,a]$ contenuto $\in (-\rho, \rho)$ con $0< a< \rho$ [Come indicato da Rigel..]

invece io scriverei tipo:

$[a,b]$ contenuto $\in (-\rho, \rho)$

aspetto conferme smentite! questi dubbi mi affliggono.

[Zero87]

"ludwigZero":conv. totalmente in un compatto $[-a,a]$ contenuto $\in (-\rho, \rho)$ con $0< a< \rho$ [Come indicato da Rigel..]

Sì è un teorema che sta da qualche parte sul marcellini-sbordone-fusco.

"ludwigZero":invece io scriverei tipo:

$[a,b]$ contenuto $\in (-\rho, \rho)$

Non vedo problemi nella tua scrittura però dovresti giustificarla. Cioè, prima di tutto $a \ne b$ e fino a qua è elementare.
Poi sottinderesti un ragionamento del tipo
$\delta = max{|a|,|b|} < \rho$ in modo che $[a,b]\subseteq [-\delta, \delta]\subset (-\rho, \rho)$ citato in precedenza.

PS. Un'ultima cosa: sapevo che non era corretta una scrittura del tipo $[a,b]\in (-\rho, \rho)$.

[ludwigZero]

"Zero87":[quote="ludwigZero"]conv. totalmente in un compatto $[-a,a]$ contenuto $\in (-\rho, \rho)$ con $0< a< \rho$ [Come indicato da Rigel..]

Sì è un teorema che sta da qualche parte sul marcellini-sbordone-fusco.

"ludwigZero":invece io scriverei tipo:

$[a,b]$ contenuto $\in (-\rho, \rho)$

Non vedo problemi nella tua scrittura però dovresti giustificarla. Cioè, prima di tutto $a \ne b$ e fino a qua è elementare.
Poi sottinderesti un ragionamento del tipo
$\delta = max{|a|,|b|} < \rho$ in modo che $[a,b]\subseteq [-\delta, \delta]\subset (-\rho, \rho)$ citato in precedenza.

PS. Un'ultima cosa: sapevo che non era corretta una scrittura del tipo $[a,b]\in (-\rho, \rho)$. [/quote]

$[a,b]\in (-\rho, \rho)$ avevo messo il simbolo di appartenenza all'insieme a posto del 'contenuto in' $\subset$
per il resto credo allora abbia capito bene.

[Quinzio]

Studio agli estremi: dovresti includere anche -1 e 1.