Correzione serie con coseno

[Mr.Mazzarr]

Salve ragazzi, trovo un po' di noia nel calcolare il carattere di una serie che presenta una funzione trigonometrica per il loro comportamento al tendere di $n->+oo$. La serie in questione è:

$sum_{n=1}^(+oo) (cosn)/(n*sqrt(n+1))$

E' infinitesima, quindi può convergere. Ora, non riuscendo a studiarla con qualche criterio così com'è, ho pensato di utilizzare il criterio del confronto. Ovvero, ho pensato che il coseno oscillando tra $-1$ e $1$ allora la serie data dovrebbe rispettare questo confronto:

$|(cosn)/(n*sqrt(n+1))| <= 1/(n*sqrt(n+1))$

E nel caso in cui la serie di destra dovesse convergere, potrei dire che converge anche la serie principale.
Ecco, ho studiato la serie a destra e converge e quindi ho detto che anche la serie principale (quella con il coseno) converge.

Vi volevo chiedere se ho sbagliato o no. Vi ringrazio, ciao!

[Camillo]

La serie non è a termini positivi per la presenza di $cos n $; si può verificare se converge assolutamente , cioè se converge la serie dei valori assoluti che è quello che hai fatto.
Poichè la serie di confronto è asintotica a $ 1/n^(3/2) $ ed è $3/2 > 1 $ essa converge e allora convergerà anche la serie iniziale.
Poichè converge assolutamente a maggior ragione convergerà anche semplicemente.

[Mr.Mazzarr]

Direi che quindi ho fatto bene
Cioè, credo perchè io ho usato quell'esponente di $alpha$ per il criterio degli infinitesimi sulla serie

$1/(n*sqrt(n+1))$