Correzione limite e funzioni integrali
Ciao a tutti, devo calcolare un limite con funzioni integrali (anche se poi se ne vanno via XD)
Il limite in questione è:
\(\displaystyle \lim_{x->0^+}{\frac{\int_{0}^{2x} (1-\cosh(t))\sinh(t^2)dt} {3x - \int_{0}^{3x} \cosh(t^2) dt} } \)
Mi trovo davanti ad una forma indeterminata, per cui applico De L'Hopital:
\(\displaystyle \frac{2}{3} \lim_{x->0^+}{ \frac{(1-\cosh(2x))\sinh(4x^2)} {1 - \cosh(9x^2)} } \)
Questo è uguale a
\(\displaystyle \frac{2}{3} \lim_{x->0^+}{ \frac{(\cosh(2x)-1)\sinh(4x^2)} {\cosh(9x^2)-1} } \)
Sono 3 limiti notevoli, risolvo quelli a numeratore per cui:
\(\displaystyle \frac{2}{3} \lim_{x->0^+}{ \frac{(\cosh(2x)-1)\sinh(4x^2)} {\cosh(9x^2)-1} } \frac{4x^2}{4x^2} \frac{4x^2}{4x^2} = \frac{2}{6} \lim_{x->0^+}{ \frac{16x^4} {\cosh(9x^2)-1} } \)
Qui l'ultimo limite notevole, sembra servito su un piatto d'argento:
\(\displaystyle \frac{2}{6} \frac{16}{81} \lim_{x->0^+}{ \frac{\frac{81}{16}16x^4} {\cosh(9x^2)-1} } = \frac{2}{3} \frac{16}{81} \)
Il risultato mi sembra un po' fuori dalle righe.. secondo voi è corretto?
Vi ringrazio gentilmente in anticipo
Il limite in questione è:
\(\displaystyle \lim_{x->0^+}{\frac{\int_{0}^{2x} (1-\cosh(t))\sinh(t^2)dt} {3x - \int_{0}^{3x} \cosh(t^2) dt} } \)
Mi trovo davanti ad una forma indeterminata, per cui applico De L'Hopital:
\(\displaystyle \frac{2}{3} \lim_{x->0^+}{ \frac{(1-\cosh(2x))\sinh(4x^2)} {1 - \cosh(9x^2)} } \)
Questo è uguale a
\(\displaystyle \frac{2}{3} \lim_{x->0^+}{ \frac{(\cosh(2x)-1)\sinh(4x^2)} {\cosh(9x^2)-1} } \)
Sono 3 limiti notevoli, risolvo quelli a numeratore per cui:
\(\displaystyle \frac{2}{3} \lim_{x->0^+}{ \frac{(\cosh(2x)-1)\sinh(4x^2)} {\cosh(9x^2)-1} } \frac{4x^2}{4x^2} \frac{4x^2}{4x^2} = \frac{2}{6} \lim_{x->0^+}{ \frac{16x^4} {\cosh(9x^2)-1} } \)
Qui l'ultimo limite notevole, sembra servito su un piatto d'argento:
\(\displaystyle \frac{2}{6} \frac{16}{81} \lim_{x->0^+}{ \frac{\frac{81}{16}16x^4} {\cosh(9x^2)-1} } = \frac{2}{3} \frac{16}{81} \)
Il risultato mi sembra un po' fuori dalle righe.. secondo voi è corretto?
Vi ringrazio gentilmente in anticipo
Risposte
Bekk
"Ale93pz":
E' una mia impressione o hai calcolato gli integrali inserendo semplicemente gli estremi nella funzione integranda?
E' una tua impressione, sì: sta usando l'Ospedale.
@Mascurzo91: in effetti il risultato fa un po' schifo, ma mi sembra tutto ok
In questo caso posso solo usare De L'Hopital oppure ci sono altri modi per risolvere il limite?
Potrebbero esserci altri modi. Tuttavia il teorema di De L'Hopital sembra di gran lunga il più conveniente.
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