Correzione limite di successione

[giuseppe89ct]

Salve ragazzi mi sto esercitando per l'imminente esame scritto di analisi e ho risolto questo limite di successione cosi:

http://i64.tinypic.com/2vt8tvk.jpg

Sul wolfram nn mi da risultato, secondo voi ho fatto bene?

[giuseppe89ct]

"TeM":[quote="giuseppe89ct"]Sul wolfram nn mi da risultato, secondo voi ho fatto bene?

Come no? Vedi qui, il risultato collima col tuo.

In ogni modo, alla luce del punto 3.7 del regolamento, ti invito a scrivere i passaggi qui nel forum (come qui mostrato)
evitando link che in breve tempo necessariamente non saranno più disponibili e ci troveremo un forum di sole risposte.[/quote]

Perdonatemi, ci tentavo ma non ci riuscivo.

Avrei un altro limite(vediamo se ci riesco stavolta a scriverlo):

$\lim_{n \to \infty} \frac{(cos n) (n)^2 (e)^(-n)}{2^(n) ln (1+ \frac {1}{n}\}\ $ $=$

$\lim_{n \to \infty} (cos n) (n)^2 (e)^(-n) \frac {1}{2^(n)}\ \frac{1}{ln(1+ \frac{1}{n}\)}\ $

Ho diviso e moltiplicato per $ \frac{1}{n}\ $ e sfrutto il limite notevole :
$\lim_{n \to \infty} (cos n) (n)^2 (e)^(-n) \frac {1}{2^(n)}\ \frac{1}{ln e}\ \frac{1}{\frac{1}{n}\}\ $
poi $ \frac{1}{\frac{1}{n}\}\ $ l'ho sostituito con $n$ e l'ho moltiplicato per $n^2$ alla fine ho:
$\lim_{n \to \infty} (cos n) (n)^3 (2e)^(-n)$

E ora come mi muovo?

$(cos n)$ con $n \to \infty $ non è uguale a $1$
non so come continuare

[giuseppe89ct]

"TeM":
Hai il prodotto di tre termini: il primo oscillante nell'intervallo \([-1,\,1]\), il secondo tendente ad infinito e il terzo
tendente a zero. Concordo sul fatto che in generale questa sia una forma indeterminata, ossia che in base ai casi
porga un risultato differente, ma volta per volta non rimane che ragionare un pochino. In particolare, in questo
caso, per la gerarchia degli infiniti/infinitesimi, è noto che "la funzione esponenziale corre al proprio limite più
rapidamente di qualsiasi funzione polinomiale" e quindi tra il secondo e il terzo fattore "vince il terzo". Per quanto concerne il primo? Bhé, dal momento che oscilla tra \([-1,\,1]\) non influenza il valore del limite che porge zero!

Spero sia sufficientemente chiaro.

No aspetta non mi è chiaro, il secondo tende più velocemente ad infinito e il terzo che è più "lento" va a 0. Ma perchè vince il terzo? ho visto il link su zero ma non ci ho capito niente...

[giuseppe89ct]

ah adesso ho capito, scusa se approfitto della tua bontà ma ne avrei un altro
$ \lim_{n \to \infty} (root(3)(n) - root(3)(log n)) / (nlogn) $

Dato che l'unico limite notevole e radice di n e invece io ho tre ho pensto di trasformarlo così:

$ \lim_{n \to \infty} (n^(\frac{1}{3]\) - log n^(\frac{1}{3]\))/ (nlogn) $
Avevo in mente di mettere in evidenzia $-1$ ma penso che abbia imboccato una strada a senso unico.....

Scusami se ne approfitto ma come vedi navigo in acque in cui sto cercando di imparare a nuotare

[giuseppe89ct]

"giuseppe89ct":ah adesso ho capito, scusa se approfitto della tua bontà ma ne avrei un altro
$ \lim_{n \to \infty} (root(3)(n) - root(3)(log n)) / (nlogn) $

Dato che l'unico limite notevole e radice di n e invece io ho tre ho pensto di trasformarlo così:

$ \lim_{n \to \infty} (n^(\frac{1}{3]\) - log n^(\frac{1}{3]\))/ (nlogn) $
Avevo in mente di mettere in evidenzia $-1$ ma penso che abbia imboccato una strada a senso unico.....

Scusami se ne approfitto ma come vedi navigo in acque in cui sto cercando di imparare a nuotare

Ho risolto così(sperando che sia giusto):
ho moltiplicato e diviso per $n^(1/3)$
e avevo così:
$ \lim_{n \to \infty} (-1) (ln(n^(1/3))-(n^(1/3)))/(n^(1/3)) (n^(1/3)) \frac{1}{n ln n} $
e poi così:

$ \lim_{n \to \infty} (-1) ln(n^(1/3))/(n^(1/3)) (n^(1/3))/(n^(1/3)) \frac{1}{n ln n} $
e quindi utilizzando il limite notevole e il terzo membro tende a 0:
$ \lim_{n \to \infty} (-2)( 0) (0) = 0 $

[giuseppe89ct]

"TeM":Bada bene che \[ \sqrt[3]{\log n} = \log^{\frac{1}{3}} n \ne \log n^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3}\,\log n \; . \] In ogni modo, ricordando che \[ a^3 - b^3 = (a - b)\left(a^2 + a\,b + b^2\right) \] segue che
\[ \begin{aligned}
\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[3]{n} - \sqrt[3]{\log n}}{n\,\log n}
& = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[3]{n} - \sqrt[3]{\log n}}{n\,\log n}\,\frac{\sqrt[3]{n^2} +\sqrt[3]{n}\,\sqrt[3]{\log n} + \sqrt[3]{\log^2 n}}{\sqrt[3]{n^2} +\sqrt[3]{n}\,\sqrt[3]{\log n} + \sqrt[3]{\log^2 n}} \\
& = \lim_{n \to \infty} \frac{n - \log n}{\left(n\,\log n\right)\sqrt[3]{n^2}\left(1 + \sqrt[3]{\frac{\log n}{n}}+\sqrt[3]{\left(\frac{\log n}{n}\right)^2}\right)} \\

\end{aligned} \]

Cosa hai fatto all'ultimo passaggio che ti ho quotato?

[giuseppe89ct]

"TeM":[quote="giuseppe89ct"]Cosa hai fatto all'ultimo passaggio che ti ho quotato?

A numeratore ho fatto riferimento al prodotto notevole sopra citato (differenza di cubi), motivo per
cui ho razionalizzato in quel modo, mentre a denominatore ho raccolto a fattor comune \(\sqrt[3]{n^2}\).


Comunque sia, scusa, prima avevo la mente un po' affuscata, è tutto molto più semplice. Infatti, si ha
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[3]{n} - \sqrt[3]{\log n}}{n\,\log n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[3]{n}\left(1 - \sqrt[3]{\frac{\log n}{n}}\right)}{n\,\log n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n^2}\,\log n} = 0 \; . \] Tutto qui. [/quote]
Aspetta che limite notevole hai utilizzato?