Correzione limite

[Zerogwalur]

Calcolare:

$lim_{x \rarr 0} (e^(2x^2)-2x*(sinx))^\frac{sqrt(1+x^2)-1}{3x^2-arctan3x^2}$

Io ho fatto, con Taylor:

$e^2x^2=1+2x^2+2x^4+473 x^6+o(x^6)$
$-2x(sinx)=-2x(x-(x^3)/6+o(x^3))$
$sqrt(1+x^2)=1+1/2 x^2 -1/8 x^4 + 1/12 x^6 +o(x^6)$
$arctan3x^2=3x^2-9x^6 +o(x^6)$

sostituendo ottengo:

$lim_{x \rarr 0} (1+7/6 x^4 + 4/3 x^6 + o(x^6))^\frac{1/2 x^2 -1/8 x^4 +1/12 x^6 +o(x^6)}{9x^6 +o(x^6)}$

$1+ 7/6x^4 +4/3 x^6 +o(x^6)$ lo riscrivo come $1+7/6 x^4 +o(x^4)$ visto che lo devo inserire in un logaritmo.

Proseguo attuando la nota trasformazione: $[f(x)]^g(x)=e^(g(x)*ln(f(x)))$ ottenendo:

$lim_{x \rarr 0} e^\frac{(1/2 x^2 -1/8 x^4 +1/12 x^6 +o(x^6))*(ln(1+7/6 x^4 + o(x^4)))}{9x^6+o(x^6)}$

$ln(1+ 7/6 x^4 +o(x^4))$ diviene con Taylor: $7/6 x^4 +o(x^4)$ tralasciando i termini di ordine superiore a 4.

Ottengo infine:

$lim_{x \rarr 0} e^\frac{7/12x^6 +o(x^6)}{9x^6 +o(x^6)}=e^(7/108)$

Ho fatto bene?

[Aliseo1]

fai attenzione che, a parte lo sviluppo di $ arctan(3x^2) $ e $ e^{2x^2} $, negli altri vi è qualche errore. Infatti poi il risultato giusto è $ e^{7/54} $ ok?

[Zerogwalur]

@Aliseo: grazie. Avevo fatto un errore di calcolo in $e^(2x^2) -2x*(sinx)$. Torna anche a me $e^ 7/54$.

[Aliseo1]

prego!